[br]Wyznaczymy punkty stacjonarne funkcji określonej wzorem[br][center] [math]f(x,y)=x^3+y^3-3xy[/math] dla [math](x,y)\in\mathbb{R}^2[/math].[/center][u]Rozwiązanie:[/u]

Na wykresie funkcji [math]f[/math] zaznaczone są punkty odpowiadające wyznaczonym punktom stacjonarnym: [math]R_1=(x(P_1),y(P_1),f(P_1)[/math] oraz [math]R_2=(x(P_2),y(P_2),f(P_2).[/math] Obserwując wykres funkcji [math]f[/math] zbadaj jak zachowuje się ona w otoczeniu punktów stacjonarnych. Spróbuj odpowiedzieć na pytanie: czy funkcja musi mieć ekstrema lokalne w punktach stacjonarnych?

W poniższym aplecie powierzchnia [math]a[/math] przedstawia wykres funkcji [math]f[/math] w otoczeniu punktu [math]P_1[/math], zaś powierzchnia [math]b[/math] [math]-[/math] wykres funkcji [math]f[/math] w otoczeniu punktu [math]P_2[/math]. [br]a) Wskaż otoczenia punktu [math]P_2[/math], w których wartość [math]f(P_2)[/math] jest najmniejszą wartością funkcji.[br]b) Ustaw widoczną powierzchnię [math]b[/math]. Uzasadnij, że funkcja [math]f[/math] nie ma ekstremum lokalnego w punkcie [math]P_1=(0,0)[/math] (wskazówka: wskaż punkt [math]S_1[/math] taki, że [math]f(S_1)<f(P_1)[/math], oraz punkt [math]S_2[/math] taki, że [math]f(S_2)>f(P_1)[/math]).[br][br][color=#666666][i][size=85]Wielkość otoczeń punktów stacjonarnych (w postaci kół o promieniu [math]\scriptstyle r[/math]) można zmieniać za pomocą suwaka [math]\scriptstyle r[/math].[/size][/i][/color]