[size=100][color=#999999]このページは電子ブック「[i][url=https://www.geogebra.org/m/vffm84sw]探求　数学[/url]Ⅰ」の一部です[/i]。[/color][b][br][br]いきなり問題ですが、「負の数（フノスウ）のメリット」は何でしょうか？[br][br]いろいろあるでしょうが、見かけ上の「引き算をこの世から消せること」です。[br][br][/b][/size]１−３は「イチ[color=#0000ff][b]ひくサン[/b][/color]」ではなく、「イチ[color=#0000ff][b]マイナスサン[/b][/color]」と読むのです。[br]つまり、「１」と「ー３」を[color=#0000ff][b]くっつけた式（シキ）[/b][/color]、つまり、[color=#0000ff][b]和の式[/b][/color]と見ることができるのですね。[br]１と３ではなく、「１」と「−３」という[b]数（スウ）[/b]がつながって書かれた式です。[br]この[color=#0000ff]マイナスもOKという数[/color]を[color=#0000ff][b]項（コウ）[/b][/color]とすると、２項式とも言えます。[br]１項式の別名が単項式、何項だろうが項があるものを多項式と呼ぶのです。[br][size=100][size=150][b]これを文字式の世界にひろげてみよう。[br][br]＜多項式＞[/b][/size][/size][br]数や文字の積だけでできたかたまりも[color=#0000ff][b][項](term , item)[/b][/color]と呼びます。[br]文字にかけられた数の部分を[color=#0000ff][b]係数（ケイスウ）[coefficient][/b][/color]という。[br][b]項には、表記上の細かなルール[/b]、習慣（？）があるので、できるだけ従った方が[b]誤解[/b]が減るでしょう。[br]・数＞文字の順で、文字はギリシャ文字が先でアルファベット順。[br]・数は小数よりも分数で、分数は帯分数でなく仮分数で、マイナス記号は数の先頭へ。[br]・かけ算（×）記号は省き、わり算（÷A）は×１/Aとして分数の分母にする。[br]・文字の積は同文字ならば指数を使って省略する。[br]・１×文字や、−１×文字は１×をかかないがマイナスはかく。必要なときだけ、１を復活してかく。[br]・数の積は計算できるところは計算する。２×３＝６にする。[br]・和と積が混同しやすいとか、積のもとの数をあえて伝えたいときは２・３など、ドットで積を表す。[br][color=#0000ff]（例）[/color][math]3a[/math][color=#0000ff], [/color][math]6xyz[/math][color=#0000ff], [/color][math]5x^2[/math][br]項が１つ以上和でつながった表現・式を[color=#0000ff][b][多項式（タコウシキ）](polynomial)[/b][/color]という。[br]・項の符号は先頭項だけは＋を省略しよう。それ以外の項は＋でもマイナスでも省略しない。[br]　省略してしまうと、和か積かがわからなくなるから。[br]・[b][color=#0000ff][size=150]多項式の各項は、和でつながるので、[br]　交換・結合法則を使って、自由に位置や演算の順番を変えることができる。[/size][/color][/b][br]・特に、項が１つだけの式を単項式ということがある。[br]多項式を整式と言うことはあるけど、混乱しやすい。[br][color=#9900ff][b]整式[ integral expression、well-formed formula ][/b][/color]というのは、「式を集合として高い視点で見たらまるで[color=#0000ff][b]整数[Integer][/b][/color]の集合のように見える」という言葉遣いからきてる。[br]別に、[color=#ff0000][b]係数を整数にするというわけではないですよ！[/b][/color][br]係数は小数、分数、√２ですらよい。[b]数と文字の積の和（セキノワ）[/b]が多項式。[br]単項式の数は負の数でもよいので、単項式の和と言っても、ひき算でももちろんよい。[br][color=#0000ff][b][size=150]大切なことは多項式を積の和としてとらえること！[br][/size][/b]（例）[math]5y[/math][/color], [math]2x-3[/math],[math]5x^2+2x-6[/math], [math]\sqrt{2}x^2-0.2x+\frac{1}{5}[/math][b][size=150][br]＜項の次数と係数＞[/size][/b][br]着目する文字の積の回数を[[color=#0000ff]項の[b]次数（ジスウ）[/b]][/color]という。[br]多項式の項の最高の次数を[[color=#0000ff]多項式の[b][size=150]次数[/size][/b]](polynomial [/color][b][size=150]degree)[/size][/b]という。[br]次数がNの式を、[[color=#0000ff]N次式[/color]]という。[br]項の着目する文字以外の積の部分を[color=#0000ff][b][係数](coefficient)[/b][/color]という。[br][color=#0000ff]（例）[/color][math]6xyz[/math]は、[math]x,y,z[/math]についての次数は3で係数は[math]6[/math]、[br]　　　[math]x[/math]について次数は1で係数は[math]6yz[/math]。[br]　　　[b][size=150][u]同じ式でも、着目する文字で次数と係数が変わる！[br][/u][/size][size=150]　　　この自由さが解法の手がかりにつながることもある。[br][/size][/b][color=#0000ff]（例）[/color][math]5x^3y^2[/math]は、[math]x,y[/math]については5次で係数は[math]5[/math]、[br]　　[math]x[/math]について3次で係数は[math]5y^2[/math][br][br]着目する文字について次数が等しい項を[color=#0000ff][b][同類項（どうるいこう）](similar term,like term)[/b][/color]という。[br][color=#0000ff]（例）[/color][math]4x^2[/math]と[math]-3x^2[/math]は同類項。[math]4x^2y[/math]と[math]-3x^2z[/math]は[math]x[/math]について同類項。[br]

[br][size=150][b]＜多項式を整理する手順＞[br][/b][/size]項を[u][color=#0000ff][b]着目する文字について係数を前にかき[/b][/color][/u]、[br]次数の[color=#0000ff]高い順[b]（降（コウ）べきの順）[/b][/color]か低い順（昇（ショウ）べき）に並べる。[br]同類項は[color=#0000ff][b]分配法則を使って[/b][/color]、[color=#0000ff]係数をまとめて[/color][b][color=#0000ff][size=150]単純化・簡約化(Simplify)しよう。[/size][/color][/b][br][color=#0000ff]（例）[br][/color]「多項式[math]x^2y+4xy-6-2xy^2[/math]を、指定した文字について整理しよう。」[br]ｘ，ｙについて　[math]x^2y+4xy-6-2xy^2=x^2y-2xy^2+4xy-6[/math][br]ｘについて　[math]x^2y+4xy-6-2xy^2=yx^2-2y^2x+4yx-6=yx^2+\left(-2y^2+4y\right)x-6[/math][br][br][size=150][b]＜整式と整式でないもの＞[/b][/size][br]整式は多項式と同義。[br]整式は項(数と文字の積）の和できているもの。[br]整式÷整式は[color=#0000ff]分数式[/color]という[color=#0000ff]整式ではない。[/color][br][color=#0000ff]（例）[/color][math]\frac{1}{x}[/math],[math]\frac{x^2-y^2}{x+y+z}[/math][br]加減乗以外の演算や非代数関数(sin,logなど）を使ったものは[color=#0000ff]整式ではない[/color]。[br][color=#0000ff]（例）[/color][math]x+\frac{1}{x}[/math],[math]sin\left(x\right)+cos^2\left(x+\frac{\pi}{2}\right)[/math], [math]e^x[/math], [math]log_2x+log_2x^3[/math][size=150][b][br][br]＜整式の加法・減法＞[/b][br][/size]整式A,Bの加法はA+Bで、減法はAーB=A+(-B)である。[br]整式の加減によってできた[color=#0000ff]多項式を整理[/color]する。[br]整式というだけあって、整式の和は整数の和と同じ発想になる。[br]たとえば、十進数の和は３２＋１５＝４７というのはどういう計算をしているのか？[br]十の位の３と１をたして４，一の位の２と５をたして７という計算をしてるはずだね。[br]これって、整式でも同じなんだ。[br]３ｘ＋２＋１ｘ＋５＝４ｘ＋７。[br]ｘの位の数（係数）の和が４，１の位の数（定数項）の和が７という計算をすればよい。[br][color=#0000ff][b]つまり文字部分が同じならば、同じ位とみるというのが、同類項という言葉遣い[/b][/color]なんだ。[br]そして、十進整数で位の数はすべて＋だったけど、負の数もゆるせば整式の和・差が同じ理屈でできるはずだね。

[size=150][size=100]式と式をかけるときにはm次式×ｎ次式が出てきます。[br]また、m次式の２乗や３乗などの計算をすることもありますね。これから式の展開をしたり[br]するときには、次の２つの指数法則をすぐに区別できることは必要になります。[br][/size][b]＜指数の和の法則＞[br][/b][/size]ｘをｍ回かけた項とｎ回かけた項をかけるとｍ＋ｎ回かけた項ができる。[br]言い換えると、[color=#0000ff][b][size=150]ｍ次式×ｎ次式＝（m＋ｎ）次式[/size][/b][/color][br][math]x^mx^n=x^{^{^{m+n}}}[/math][br][color=#0000ff]（例）[/color]項の積は、係数は係数の[b]積[/b]に、文字の次数は次数の[b]和[/b]になる。[br][math]-2a^2\cdot5ab^2=\left(-2\cdot5\right)a^{2+1}b^2=-10a^3b^2[/math][br][size=150][size=150][b]＜指数の積の法則＞[br][/b][/size][size=100]ｘをｍ回かけた項をｎ回かけると、ｍ・ｎ回かけた項ができる。[br]言い換えると、[/size][/size][color=#0000ff][b][size=150]（ｍ次式）のｎ乗＝（m×ｎ）次式[/size][/b][/color][size=150][size=100][br][math]\left(x^m\right)^n=x^{m\cdot n}[/math][br][/size][color=#0000ff][size=100]（例）[math]\left(a^2\right)^4\cdot a^3\cdot\left(a^3\right)^3=a^{2\cdot4}a^3a^9=a^{8+3+9}=a^{20}[/math][br][/size][/color][b][br]＜整式のかけ算＞[/b][/size][br][color=#0000ff][b]ｍ項式とｎ項式の積は、ｍ・ｎ項式となる。[br][/b][/color]（場合の数の[b]積の法則[/b]より）[br]多項式×多項式＝多項式によって、左辺の式を[b][[color=#0000ff]展開](expand)[/color][/b]したとされる。[br][color=#0000ff]（例）[/color]2項式×3項式＝6項式になることは、[br]　分配法則を2段階使えばわかる。[br]　　　（A＋B）（D＋E＋F)＝A（D+E＋F）＋B（D＋E＋F)[br]　　　　　　　　　　　＝AD＋AE＋AF＋BD＋BE＋BF[br][size=150][b]＜式の展開と係数分離法＞[/b][/size][br]整式の積は整数の積と同様に実行できます。[br][b][color=#0000ff]整式の項の係数をN進数の各位の数とみて筆算します。[br][/color][/b]それを[color=#0000ff][b][u]係数分離法[/u][/b][/color]といいます。[br]やり方[br]１．式を降べきの順に整理する。[color=#0000ff]係数だけ取り出す[/color]。（１，２行目）[br]２．同じ次数の係数が、[color=#0000ff]位どりのように同じ次数がたてにそろうように[/color]実行する。[br]３．[color=#0000ff]同じ次数の係数をたし算することで、同類項をまとめる[/color]。[br]（ただし、N進数のかけ算のようなくり上がりはない。）[br] [br][size=150][size=100][color=#0000ff]（例）[math]\left(2x+3\right)\left(x^2+5x+1\right)=[/math][br]　　　2 3[br][u]☓ 1 5 1[/u][br]2 3[br] 10 15[br][u] 2 3[/u][br]2 13 17 3 [/color][/size][/size] [math]2x^3+13x^2+17x+3[/math] [br] [br][color=#0000ff]（例）[/color][math](x-1)(x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=x^{10}-1[/math] [br] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1[br] [u] 1 -1[/u] [br] -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1[br][u] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [br][/u] 1 -1[br]　[color=#0000ff]（一般化）[br]　[/color]このイメージがわかれば、逆に[br]　[math]x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+........+x+1)[/math][br]　となることも予想できるね。

[size=150][b]＜基本の乗法公式＞[br][/b][/size][color=#0000ff][b][i][size=150]・（a+b)(a+b)=(a+b)a+(a+b)b=aa+ba+ab+bb=a[sup]2[/sup]+2ab+b[sup]2[/sup][br][/size][/i][/b][/color] [math]\left(a+b\right)^2=\left(a+b\right)\left(a+b\right)=a^2+2ab+b^2[/math][br][color=#0000ff][b][size=150] ２項和の２乗は、前項２乗と２倍の前後の積＋後項２乗。[br]（a-b)²は、bに-bを入ると２乗部分は符号は変わらない。[br] (a-b)2=a[sup]2[/sup]-2ab+b[sup]2[/sup][br][/size][size=150][i]・（a+b)(a-b)=(a+b)a+(a+b)(-b)=aa+ba-ab-bb=a[sup]2[/sup]-b[sup]2[/sup][br][/i][/size][/b][/color][math]\left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2[/math][br][color=#0000ff][b][size=150] 和差の積は２乗の差[br][/size][size=150][i]・（x+a)(x+b)=(x+a)x+(x+a)b=xx+ax+bx+bb＝x[sup]2[/sup]+(a+b)x+ab[br][/i][/size][/b][/color][math]\left(x+a\right)\left(x+b\right)=x^2+\left(a+b\right)x+ab[/math][br][size=150][b][color=#0000ff] ｘの係数は、2次→1次→定数の順に1→和→積[br][/color][/b][table][tr][/tr][/table][/size][color=#0000ff][b][size=150]・（ax+b)(cx+d)=(ax+b)cx+(ax+b)d=axcx+bcx+axd+bd＝acx2+(ad+bc)x+bd[br][/size][/b] [math]\left(ax+b\right)\left(cx+d\right)=acx^2+\left(ad+bc\right)x+bd[/math][/color][color=#0000ff][br][b][size=150] xの係数は、降べきの順に1次積ac→たすきがけ⇒定数積bd[br][/size][/b][br][/color][b][size=150]＜式の展開への公式利用＞[br]★文字種がまざるときは最低次の１文字について整理する。[br]★共通部分をみつけてくくるか、置き換えをして単純化する。[br]★和差積＝２乗差（A+B)(A-B)=A[sup]2[/sup]-B[sup]2[/sup][br][/size][/b][color=#0000ff]・１次の係数の和[/color]がsなら、a+b=s, とすると[math]\left(x+a\right)\left(x+b\right)=x^2+sx+ab[/math]となることが使えるね。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]（x+a)(x+s-a)(x+b)(x+s-b)=[math]\left(x^2+sx+a\left(s-a\right)\right)\left(x^2+sx+b\left(s-b\right)\right)[/math],[br]　さらにX=とおき１次式の積で計算可能。[br]・多項式の共通部分をX、Yとしたとき、[color=#0000ff]和差積は２乗差[/color][math]\left(X+Y\right)\left(X-Y\right)=X^2-Y^2[/math]が使えるね。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br](x+a+b)(x-a-b)=(x+M)(x-M)。a+b=Mとおけば、-a-b=-(a+b)=-Mとなるから。[br](x+a-b)(x-a+b)=(x+N)(x-N)。a-b=Nとおけば、-a+b=-(a-b)=-Nとなるから。[br](x+a-b)(x-a-b)=(x-b+a)(x-b-a)=(X+a)(X-a)。-bを移項して、x-b=Xとおけばよい。[br][color=#0000ff]・和の２乗と差の２乗の和差。差は２倍の積がのこり、和は２乗部分が残る。[/color][br][color=#0000ff]（例）[/color][br]2乗部分は差によって消えるから、[math]\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)^2=2ab-\left(-2ab\right)=4ab[/math][br]2ab部分は和によって消えるから、[math]\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2=2\left(a^2+b^2\right)[/math][br][size=150][size=150][color=#0000ff][size=100]・３項式の積でも、分配法則や場合の数の積の法則が使える。３項×３項＝９項式[br][/size][/color][size=100][color=#0000ff]（例）[/color][/size][/size][b][color=#0000ff]（a+b+c)(a+b+c)=(a+b+c)a+(a+b+c)b+(a+b+c)c[br][/color][/b][size=150][b]=aa+ab+ca +ab+bb+bc +ac+bc+cc=aa+bb+cc+(ab+bc+ca)*2[br][/b][/size][/size][size=150][size=150][b][color=#0000ff]＝a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]+c[sup]2[/sup]+2ab+2bc+2ca[br][/color][/b][/size][size=100][math]\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca[/math][br][/size][/size]

[b][size=150]＜式展開ゲーム＞[/size][/b][br]工夫しなくても展開はできるが、工夫してミス減少と時間短縮をめざすゲームをしよう。[br]式全体を見渡して、共通点と違いに着目してから、方針を立てる。それから計算を実行するといいね。[br][size=150][color=#0000ff][size=100]★文字種がまざるときは最低次の１文字について整理する。[br]★共通部分をみつけてくくるか、置き換えをして単純化する。[br]★和差積＝２乗差（A+B)(A-B)=A[sup]2[/sup]-B[sup]2[/sup][br][/size][/color][/size][color=#0000ff]（例）[/color][br]「(a-b+c+d)(a+b+c-d)の展開」[br]　((a+c)-(b-d))((a+c)+(b-d))=(a+c)[sup]2[/sup]-(b-d)[sup]2 [/sup] あとは２乗の展開をするだけ。[br][color=#0000ff]（例）[br][/color]「(x[sup]2[/sup]+xy+y[sup]2[/sup])(x[sup]2[/sup]-xy+y[sup]2[/sup])(x[sup]4[/sup]-x[sup]2[/sup]y[sup]2[/sup]+y[sup]4[/sup])の展開」[br]　((x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup])[sup]2[/sup]-(xy)[sup]2[/sup])(x[sup]4[/sup]-x[sup]2[/sup]y[sup]2[/sup]+y[sup]4[/sup])[br]　=(x[sup]4[/sup]+x[sup]2[/sup]y[sup]2[/sup]+y[sup]4[/sup][size=150])[/size](x[sup]4[/sup]-x[sup]2[/sup]y[sup]2[/sup]+y[sup]4[/sup])[size=100]=(x[sup]4[/sup]+y[sup]4[/sup])[sup]2[/sup]-(x[sup]2[/sup]y[sup]2[/sup])[sup]2[/sup]=x[sup]8[/sup]+x[sup]4[/sup]y[sup]4[/sup]+y[sup]8[/sup][/size][b][size=150][br]＜３乗の乗法＞[br][/size][/b][size=100][size=150]（A-B)(A[sup]2[/sup]+AB+B[sup]2[/sup])=A[sup]3[/sup]-B[sup]3 [/sup][/size]カッコの両端以外は相殺して消える。[br][size=150]（A+B)(A[sup]2[/sup]-AB+B[sup]2[/sup])=A[sup]3[/sup]+B[sup]3 [/sup][/size] Bに-Bを代入すると、２乗部分だけ符号は変わらない。[br][table][tr][td][size=150][/size][/td][/tr][/table][math]・（a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2[/math][table][tr][td][size=150][/size][/td][/tr][/table][math]・（a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)=a^3-b^3-3a^2b+3ab^2[/math][/size][color=#0000ff] bに-bを代入しても、2乗部分だけ符号が変わらない。[/color][br]（x+1)[sup]3[/sup]=(x+1)(x+1)(x+1)=(x[sup]2[/sup]+2x+1)(x+1)=(x[sup]3[/sup]+(2+1)x[sup]2[/sup]+(2+1)x+1)=x[sup]3[/sup]+3x[sup]2[/sup]+3x+1[br]これは、係数分離法だと１１×１１×１１＝１２１×１１＝１３３１の計算をするのと同じだね。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「(2x-3y)[sup]3[/sup]の展開」[br]a=2x,b=-3yと考えると(a+b)3の展開と同じ。[br]　(2x)[sup]3[/sup]+3(2x)[sup]2[/sup](-3y)+3(2x)(-3y)[sup]2[/sup]+(-3y)[sup]3[/sup]=8x[sup]3[/sup]-36x[sup]2[/sup]y+54xy[sup]2[/sup]-27y[sup]3[br][/sup][color=#0000ff]（例）[/color][br]「(3a-2b)(9a[sup]2[/sup]+6ab+4b[sup]2[/sup]) の展開」[br]　A=3a, B=2bとA[sup]3[/sup]-B[sup]3[/sup]=27a[sup]3[/sup]-8b[sup]3[/sup]