La prima definizione che diamo di integrale è quella di [b][color=#ff0000]integrale indefinito[/color][/b], che è collegata al concetto di derivata e più precisamente è la sua operazione inversa. [br][br][color=#ff0000][b]Definiamo [i]primitiva[/i] della funzione [math]\large{f(x)}[/math] la funzione [math]\large{g(x)}[/math] tale per cui [math]\large{g'(x)=f(x)}[/math].[/b][/color] [br][br]Per trovare una primitiva della funzione [math]\large{f(x)}[/math] ("[i]una[/i]", perché vedremo che ce ne sono infinite), dobbiamo trovare una funzione che derivata dia [math]\large{f(x)}[/math].[br][br][color=#0000ff][b]ESEMPIO 1: Una primitiva di [math]\large{\textcolor{red}{f: 6x-7}}[/math] è [math]\large{\textcolor{blue}{g: 3x^2-7x}}[/math], perché se calcolo la derivata di [math]\large{\textcolor{blue}{g(x)}}[/math] ottengo [math]\large{\textcolor{red}{f(x)}}[/math].[/b][/color][br][br]Questa relazione tra le due funzioni si scrive con la seguente simbologia:[br][br][math]\large{\int (\textcolor{red}{6x-7}) \textcolor{#007700}{dx} = \textcolor{blue}{3x^2-7x}\textcolor{#007700}{+c} }[/math][br][br]Il simbolo [math]\large{\int}[/math] è una stilizzazione di una "S" che sta per somma - vedremo che integrali e somme sono strettamente legati. Capiremo più avanti il significato del termine [math]\large{\textcolor{#007700}{dx}}[/math] (si legge "de x") per cui viene moltiplicata la funzione dentro all'integrale.[br][br]Per quanto riguarda invece la costante [math]\large{\textcolor{#007700}{c} }[/math] sommata al risultato, è dovuta la fatto che se sommiamo un numero costante ad una primitiva, la sua derivata identica, e quindi anche la nuova funzione è una primitiva dell'originale.[br][br][color=#0000ff][b]ESEMPIO 1b: anche [math]\large{\textcolor{blue}{h(x) = g(x)+5 = 3x^2-7x+5}}[/math] è una primitiva di [math]\large{\textcolor{red}{f: 6x-7}}[/math], perché se ne calcolo la derivata il [math]\large{\textcolor{blue}{5}}[/math] sparisce ed ottengo la stessa derivata di prima.[/b][/color][br][br]Data una primitiva di [math]\large{\textcolor{red}{f(x)}}[/math], ne ottengo quindi infinite altre sommando ad essa un qualsiasi numero costante. [b][color=#ff0000]L'integrale indefinito di una funzione è quindi l'insieme di tutte le sue infinite primitive[/color][/b] - è proprio per questo che si dice "indefinito". [br][br]Rivediamo ed approfondiamo questi concetti nella prossima animazione.