Докажите, что прямые АА1 и С1D1; AA1 и B1D; AC и B1D1 являются скрещивающимися.[br]

ОТВЕТ:[br][br][br]1) Прямые параллельны потому, что АD1, имеет лишь одну общую точку с прямой АD, а АD [math]\parallel[/math] ВС.[br]2) Прямые не пересекаются потому, что не лежат в параллельных плоскостях. Эти плоскости - плоскости граней АСС1В1 и ADD1A1.[br]Раз прямые не параллельны и не пересекаются, то они скрещивающиеся.[br][br]или[br][br]D1 ∉ (AA1C1); D ∉ (AA1B1),[br]D1 ∉ (ACB1) и следует, что каждая пара прямых не лежит в одной плоскости.

Точки Е, F, P и M - середины A1D1, D1C, CD и A1D соответственно. Докажите, что ЕР и МF пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

ОТВЕТ:[br][br]1) EM является средней линией для [math]\Delta[/math]А1D1D [math]\Longrightarrow[/math] ЕМ[math]\parallel[/math]DD1, а также EM=1/2 DD1[br]2) FP является средней линией для [math]\Delta[/math]CD1D [math]\Longrightarrow[/math] FP[math]\parallel[/math]DD1, а также FP=1/2 DD1.[br]3) Так как EM[math]\parallel[/math]FP, получается, что EFPM это параллелограмм. Следует, что EP и FM пересекаются и их точка пересечения делится пополам по свойству пересечения диагоналей параллелограмма EFPM.