En aquest applet es mostra la construcció que permet trobar el conjunt de segments que surten dels vèrtexs d'un quadrilàter qualsevol de manera que la suma de les seves longituds sigui mínima. Coincidirà per tant amb la configuració més estable possible que sortirà en posar-hi làmines de sabó.[br][br]Aquests segments estan indicats en blau. En vermell hi ha una cofiguració diferent. Movent els punts vermells es pot comprovar com la suma de longituds dels segments vermells sempre serà superior a la mínima, definida pels segments blaus.[br][br][list][*]Mou els punts blaus per definir el quadrilàter.[/*][*]Mou els punts vermells per trobar diferents longituds dins el quadrílàter.[/*][/list][br]

Aquest applet, però, no contempla totes les possibilitats.[br][br]Hi ha casos (problema d'Steiner) en que la configuració dels segments per a trobar la mínima distància que uneix els quatre punts serà diferent.[br][br]Guaita el següent applet:

En la posició inicial (pots recuperar-la amb l'icona de dalt a la dreta) la distància mínima la donen els segments vermells.[br][br]Si movem el punt C per sota el segment EF la configuració mínima la passen a donar els segments verds.[br][br]Si movem el punt B (i tornem el punt C a la seva posició anterior) per sobre el segment EF la configuració passarà a ser la donada pels segments blaus i estarem en les condicions del primer applet.[br][br]Si el punt B està sobre el segment EF i el punt C per sota, l'applet no dona una solució correcta. Tot i que la correcta seria la simètrica d'un dels casos anteriors.

[b]CONSTRUCCIÓ:[/b][br][list=1][*]Es tracen dos triangles equilàters en costats oposats del quadrilàter.[/*][*]Es tracen les circumferències que circumscriuen ambdós triangles.[/*][*]Es traça el segment que uneix els dos nous vèrtexs definits pels triangles.[/*][*]La intersecció d'aquest segment i les dues circumferències defineixen els punts de Fermat.[/*][/list][br][b]DEMOSTRACIÓ:[/b][br][list=1][*]Definint dos punts qualssevol dins el quadrilàter tracem els segments blau, verd, vermell, groc i lila.[/*][*]Fem un gir dels segments blau i vermell de 60º respecte el vèrtex del quadrilàter que també és extrem del segment blau.[/*][*]Idem amb els segments verd i lila.[/*][*]Formem els triangles equilàters blau i verd.[/*][*]Es pot comprovar que la suma de tots cinc segments coincideix amb la longitud de la poligonal que va del punt V[sub]1[/sub] al punt V[sub]2[/sub]. Així doncs la mínima longitud d'aquesta serà pel segment recte que les uneix.[/*][*]Si movem els punts blaus de manera que la poligonal se sobreposi a la recta negra (que defineix la mínima distància), deduïm que els angles vermells, pel fet de ser suplementaris a una angle d'un triangle equilàter, han de ser de 120º. Aquests, però, coincideixen amb els grocs pel gir aplicat en el punt 2. d'aquesta demostració.[/*][*]Essent aquests angles de 120º, els punts de Fermat hauran d'estar sobre les circumferències que inscriuen els triangles, doncs aquestes defineixen l'arc capaç de 120º sobre el segment del quadrilàter.[/*][/list]En la demostració queda el dubte de si tots els angles en els punts de Fermat són de 120º. Això es fa en el següents applets:

[b]La bisectriu d'un angle definit per un arc capaç:[/b][br][br]En la següent figura tenim definit un arc capaç d'un angle (indicat en verd).[br][br]S'ha traçat la bisectriu [code][/code]d'aquest angle (en gris).[br][br]Si es mou el punt blau es pot comprovar com la bisectriu sempre passa pel mateix punt. Aquest punt és el punt central de l'arc oposat a l'arc capaç de l'angle.[br][br]Movent els punts roses es pot comprovar com passa el mateix sigui quin sigui l'arc capaç definit.

[b]Demostrem per què:[/b]

Considerem el punt central de l'arc oposat a l'arc capaç (punt negre).[br][br]Els dos angles vermells han de ser iguals, doncs estan damunt un mateix arc capaç definit pel segment vermell. De forma equivalent han de ser iguals els angles verds.[br][br]Però els angles vermell i verd també han de ser iguals pel fet de ser els dos angles del costat desigual d'un triangle isòsceles. Per tant la recta del punt blau al punt negre ha de ser la bisectriu de l'angle definit pel punt de l'arc capaç.

Això ens permet demostrar que tots els angles al voltant dels punts de Fermat han de ser de 120º:[br][br]Recuperem el primer applet. Els punts dels triangles equilàters són precisament els punts centrals de l'arc capaç oposat al de 120º. Per tant el segment que els uneix en serà la bisectriu. Això comporta que els altres dos angles han de ser iguals i, per tant, seran també de 120º.[b][br][/b]