Ein [b]euklidisches Koordinatensystem[/b] ist eine [i]orientierte[/i] Basis [math]\mathbf\vec{p}_\infty,\,\mathbf\vec{g}_0,\,\mathbf\vec{p}_0[/math] im komplexen [br]Geradenvektorraum [math]\large\mathcal{G}[/math] mit [math]\mathbf{Det}\left(\mathbf\vec{p}_\infty,\mathbf\vec{g}_0,\mathbf\vec{p}_0\right)=1[/math], für welche die beiden Produkttabellen gelten: [br][list][center][br][math]\Large\begin{tabular} {|c||c|c|c|} \hline [br]\bullet & \mathbf\vec{p}_\infty &\mathbf\vec{g}_0 & \mathbf\vec{p}_0 \\ \hline\hline [br]\mathbf\vec{p}_\infty & 0 & 0 & 1 \\ \hline [br]\mathbf\vec{g}_0 & 0 & -1 & 0 \\ \hline [br]\mathbf\vec{p}_0 & 1& 0 & 0 \\ \hline\end{tabular}[/math] [math]\Large\begin{tabular}{|c||c|c|c|} \hline [br][\;\,,\;] & \mathbf\vec{p}_\infty & \mathbf\vec{g}_0 & \mathbf\vec{p}_0 \\ \hline\hline [br]\mathbf\vec{p}_\infty & \mathfrak{o} & \mathbf\vec{p}_\infty & \mathbf\vec{g}_0 \\ \hline [br]\mathbf\vec{g}_0 & -\mathbf\vec{p}_\infty & \mathfrak{o}& \mathbf\vec{p}_0 \\ \hline [br]\mathbf\vec{p}_0 & - \mathbf\vec{g}_0 & - \mathbf\vec{p}_0& \mathfrak{o} \\ \hline\end{tabular}[/math][/center][/list][list][*]Die Punkte auf der Möbiusquadrik mit Ausnahme von [math]\infty\equiv \mathbf\vec{p}_\infty[/math] erreicht man durch die komplexe Parametrisierung der Berührgeraden: [math]\mathbf\vec{p}(z):=\frac{z^2}{2}\cdot \mathbf\vec{p}_\infty+z\cdot\mathbf\vec{g}_0+\mathbf\vec{p}_0,\mbox{ mit }z\in\mathbb{C}[/math].[/*][/list][list][*]Die Verbindungsgerade zweier Punkte [math]z_1,z_2\in\mathbb{C}[/math]: [math]\mbox{ }\mathbf\vec{g}(z_1,z_2)=\frac{\left[\mathbf\vec{p}(z_1),\mathbf\vec{p}(z_2)\right]}{\mathbf\vec{p}(z_1)\bullet\mathbf\vec{p}(z_2)} =\frac{1}{z_1-z_2}\left(z_1z_2\cdot\mathbf\vec{p}_\infty+\left(z_1+z_2\right)\cdot\mathbf\vec{g}_0+2\cdot\mathbf\vec{p}_0\right)[/math], es ist [math]\left(\mathbf\vec{g}(z_1,z_2)\right)^2=-1[/math].[/*][/list][list][*][math]\mathbf\vec{g}\in\large\mathcal{G}[/math] ist eine Gerade, wenn [math]\mathbf\vec{g}\bullet\mathbf\vec{g}\in \mathbb{R}[/math] gilt: [math]\left\{\begin{matrix}{\mathbf\vec{g}\bullet\mathbf\vec{g}<0} & {\mbox{ Schnittgerade: hyperbolisches Kreisbüschel }}\\{\mathbf\vec{g}\bullet\mathbf\vec{g}=0} &{\mbox{ Berührgerade: parabolisches Kreisbüschel}}\\{\mathbf\vec{g}\bullet\mathbf\vec{g}>0} & {\mbox{ Gerade außerhalb: elliptisches Kreisbüschel}}\end{matrix}\right\}[/math] [/*][br][*]Zwei Geraden [math]\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\in\large\mathcal{G}[/math] schneiden sich, wenn [math] \mathbf\vec{g}_i\bullet\mathbf\vec{g}_i\in \mathbb{R},i=1,2[/math] und [math] \mathbf\vec{g}_1\bullet\mathbf\vec{g}_2\in \mathbb{R}[/math] gelten.[br]Die Geraden schneiden sich dann [math]\left\{\begin{matrix} \mbox{innerhalb der Möbiusquadrik} & \mbox{ wenn } & {\Delta\left(\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\right)>0} \\\mbox{auf der Möbiusquadrik} &\mbox{ wenn } &{\Delta\left(\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\right)=0}\\\mbox{außerhalb der Möbiusquadrik} & \mbox{ wenn } & {\Delta\left(\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\right)<0}\end{matrix}\right\}[/math] für die Diskriminante [math]\Delta\left(\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\right)={\mathbf\vec{g}_1}^2\cdot{\mathbf\vec{g}_2}^2-\left(\mathbf\vec{g}_1\bullet\mathbf\vec{g}_2\right)^2[/math] gilt.[/*][/list][br][right][color=#ff7700][color=#000000][size=100][size=50][color=#cc4125]Diese Seite ist Teil des geogebra-books [url=https://www.geogebra.org/m/s2797fyc]Kugel-Kegel-Schnitte[/url] (August 2018)[/color][/size][/size][/color][/color][/right][br]