[size=150][url=https://de.wikipedia.org/wiki/Platonischer_K%C3%B6rper]Platonische Körper[/url] sind konvexe Polyeder, sie haben als Seitenflächen kongruente regelmäßige Vielecke (Dreiecke, Vierecke, Fünfecke). An jeder Ecke stoßen gleichviele Kanten an.[br]Es gibt 5 platonische Körper.[br][br][url=https://de.wikipedia.org/wiki/Archimedische_K%C3%B6rper]Archimedische Körper[/url] Körper sind konvexe Polyeder, sie haben als Seitenflächen regelmäßige Vielecke, die aber nicht immer kongruent sind. An den Ecken stoßen immer gleichviele Kanten an (dass die Seitenflächen regelmäßige Vielecke sind, reicht nicht!).[br]Und sie sind weder [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Platonischer_K%C3%B6rper]platonische Körper[/url] noch [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Prisma_(Geometrie)]Prismen[/url] oder [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Antiprisma]Antiprismen[/url].[br]Es gibt 13 archimedische Körper.[br][br][url=https://de.wikipedia.org/wiki/Platonischer_K%C3%B6rper#Dualit%C3%A4t]Duale Körper[/url] von platonischen Körpern entstehen (als Kantenmodell), wenn man die Mittelpunkte benachbarter Seiten miteinander verbindet. Das ist die gängige geometrische Definition. Dabei wird der [i]innere [/i]duale Körper kleiner und wenn man die Dualisierung damit nochmal durchführt, erhält man den Ausgangskörper, aber deutlich kleiner. Dass nenne ich Dualkörper erster Art.[br]Es gibt eine zweite Konstruktion für duale Körper, wobei gefordert wird, dass die beiden Körper dieselbe [i]Kantenkugel [/i]haben. Dabei haben wir dann andere Eigenschaften: Die dualen Körper werden nicht 'kleiner', bei zweimaliger Dualisierung erhalten wir wieder den Ausgangskörper in [i]gleicher [/i]Größe (Involution). Dass nenne ich Dualkörper zweiter Art.[br]In diesem Book arbeite ich meist mit der ersten Art, der Seitenmitten-Definition, und vergrößere dann ggf. den inneren dualen Körper für Durchdringungen. [br]In der Literatur findet man meist stillschweigend, ohne Kommentar, die eine oder andere Art, was irritieren kann.[br]In Wikipedia tauchen auch (an unterschiedlichen Stellen) beide Varianten auf, was die Verwirrung auch nicht gerade verringert.[br][br]Bei den platonischen Körpern sind dual:[br] Tetraeder - Tetraeder [br] Würfel - Oktaeder [br] Oktaeder - Würfel[br] Dodekaeder - Ikosaeder [br] Ikosaeder - Dodekaeder.[br]Platonische Körper haben eine Umkugel und eine Inkugel und eine Kantenkugel, die Mittelpunkte sind identisch und gleich dem Schwerpunkt.[br]Die Umkugel des inneren dualen Körpers ist dann auch Inkugel des umfassenden äußeren platonischen Körpers. [br]Die gegenseitige Dualität bei platonischen Körpern beruht auf der sehr hohen Symmetrie dieser Körper. Bei archimedischen Körpern muss das nicht so sein.[br][br]Es gibt verschiedene Möglichkeiten, aus den platonischen Körpern archimedische zu erzeugen.[br]Am häufigsten wird das gleichmäßige Abschneiden von Pyramiden an den Ecken genutzt, das sogenannte [i]Abstumpfen[/i].[br]Man kann auch den Durchschnitt von geeigneten platonischen Körpern betrachten ([i]Durchdringen[/i]). Hierzu wird der innere duale Körper passend vergrößert, so dass er 'herauswächst'.[br]Eine dritte Möglichkeit ist das [i]Fasen [/i](engl. [i]Cantellation[/i]). Dies ist ein Abstumpfen zweiter Ordnung, an Kanten und an Ecken.[br][br]Man kann bei zwei sich durchdringenden Körpern auch die [i]konvexe Hülle[/i] betrachten bzw. erzeugen. So ist z. B. zum Kuboktaeder als Durchschnitt von Würfel und Oktaeder das Rhombendodekaeder die konvexe Hülle (ist aber kein archimedischer Körper mehr). [/size]