MÁS ALLÁ DE "FOG" Y "GOF"
"Más allá de FOG y GOF" consiste en una colección de actividades para profundizar en la composición de funciones.
Table of Contents
- INTRODUCCIÓN.
- Recordemos qué es la composición de funciones.
- COMPOSICIÓN CON FUNCIONES AFINES
- Función circunferencia.
- Traslación vertical
- Dilatación/contracción vertical
- Comp. f. afín (por la derecha)
- Traslación horizontal
- Dilatación/contracción horizontal
- Comp. f. afín (por la izquierda)
- TRANSFORMACIÓN DE CIRCUNFERENCIAS EN ELIPSES
- Elipses como composición de funciones
- APLICACIÓN EN IMÁGENES REALES
- Puente colgante
- Arco medio punto
- Escalera
- Balón de rugby
- Puente ONTI
- SaintLouis
- COMPOSICIÓN COMO CAMBIO DE UNIDADES
- Modelización TEMPERATURA (comp. de func.)
- SOBRE LA FUNCIÓN INVERSA
- Gráficas de una función y su inversa
- "Inversas" que no conmutan.
Recordemos qué es la composición de funciones.
Recordemos que dos funciones f(x) y g(x) pueden componerse generando una tercera función definida de la siguiente manera:[br][br][math]f\circ g\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)[/math]
[br]A continuación te proponemos una colección de actividades relacionadas con la composición de funciones.
Función circunferencia.
Para empezar vamos a conocer la función con la que trabajaremos en los primeros ejercicios.
¿Existe una función cuya gráfica sea una circunferencia?
La respuesta es no.[br]Como se aprecia a continuación, si consideramos que una circunferencia es la gráfica de cierta función encontraremos valores del dominio que tienen más de una imagen, cosa que contradice la definición de función.
¿Cuál es la imagen de 3?... ¿4 o -4?[br][br]Por lo tanto no hay una función cuya gráfica sea una circunferencia. Sin embargo sí podemos encontrar dos funciones tales que la unión de sus gráficas formen una circunferencia. Una de ellas sería la semicircunferencia positiva del ejemplo anterior, y la otra la negativa.[br][br]No es difícil expresar analíticamente la coordenada "y" de un punto cualquiera de una circunferencia en función de la coordenada "x" y del radio de la misma. Solo hay que observar que las longitudes de las coordenadas de cada punto de la circunferencia, junto con el radio forman un triángulo rectángulo y por lo tanto verifican el Teorema de Pitágoras:
Aplicando el Teorema de Pitágoras:[br][br][math]x^2+y^2=R^2[/math][br][br]y despejando[br][br][math]y^2=R^2-x^2[/math][br][br][math]y=\pm\sqrt{R^2-x^2}[/math][br][br]Así tenemos las dos expresiones de las dos funciones cuyas graficas forman una circunferencia.[br]Para el caso de una circunferencia de radio 1 (R=1) quedarías así:
En el ejercicio que proponemos a continuación trabajaremos solo con una de las dos funciones (la positiva) que directamente llamaremos f(x).[br][size=150][br][math]f\left(x\right)=\sqrt{1-x^2}[/math][br][br][/size]
Elipses como composición de funciones
Con los ejercicios anteriores hemos visto que componiendo la función circular [math]f\left(x\right)=\sqrt{1-x^2}[/math] con funciones afines tanto por la derecha como por la izquierda se consiguen semielipses.[br][br]Por ejemplo, si quisiéramos expresar la elipse centrada en (-3,2) y de semiejes 2 y 1, podemos obtener dos funciones (una para la semielipse superior y otra para la inferior) a partir de composiciones como se muestra a contimuación:
En el siguiente applet puedes introducir la expresión analítica de las funciones [math]h_1\left(x\right)[/math] y [math]h_2\left(x\right)[/math] tanto para la semielipse superior ([math]g_1\left(x\right)[/math]) como para la inferior ([math]g_2\left(x\right)[/math]).
EJERCICIO 1
Indica qué curva forman la gráficas de las funciones:[br][math]g_1\left(x\right)=\left(3x+4\right)\circ f\circ\left(\frac{x-3}{2}\right)[/math] y [math]g_2\left(x\right)=\left(-3x+4\right)\circ f\circ\left(\frac{x-3}{2}\right)[/math]
EJERCICIO 2
Obtén dos funciones cuyas gráficas formen una elipse centrada en (3,-3) de semiejes 4 y 2.
EJERCICIO 3
Obtén dos funciones cuyas gráficas formen una elipse centrada en (-2,4) de semiejes [math]\frac{1}{2}[/math] y 3.
EJERCICIO 4
Obtén dos funciones cuyas gráficas formen una circunferencia centrada en (2,5) de radio 3.
Puente colgante
Ajuste de funciones a curvas reales
En esta actividad tenéis que ajustar la [b]parábola[/b] [math]f_0\left(x\right)=x^2[/math] a la curva que forma la cuerda del puente colgante que aparece en la imagen.[br][br]Para ello debéis mover los deslizadores para crear las diferentes funciones afines que se tienen que componer entre ellas y con la función original. Estos son los movimientos que generan:[br][list][*][b]a[/b] --> dilatación o contracción horizontal [math]h_2\left(x\right)=ax[/math][/*][*][b]p[/b] --> traslación horizontal [math]h_3\left(x\right)=x+p[/math][/*][*][b]q[/b] --> traslación vertical [math]h_4\left(x\right)=x+q[/math][/*][/list][br]Una vez hayáis ajustado la función a la curva, podéis activar la casilla de [i]Puntuación[/i] para obtener el porcentaje de aproximación logrado.
Modelización TEMPERATURA (comp. de func.)
Una de las maneras ver una aplicación de la composición de funciones es el cambio de unidades.[br][br]En matemáticas casi nunca hablamos de unidades cuando trabajamos con funciones, excepto en las funciones trigonométricas. Por ejemplo, la función [math]f\left(x\right)=sin\left(x\right)[/math] toma sus argumentos en radianes por definición.[br][br]Si quisiéramos expresar esta función de modo que tome sus argumentos en grados sexagesimales, haríamos el cambio de variable [math]x=\frac{\pi}{180}\cdot\alpha[/math] o lo que es lo mismo, una composición de funciones;
EJERCICIO
Muchos fenómenos que tienen que ver con movimientos circulares (relacionados por ejemplo con la rotación o traslación terrestre) pueden modelizarse mediante transformaciones de funciones trigonométricas. Esas transformaciones pueden expresarse como composiciones de funciones.[br][br]La temperatura en grados centígrados, registrada en cierta estación meteorológica, ha alcanzado un valor mínimo de -5ºC en enero y un valor máximo de 21ºC en julio.[br][br]Obtén la expresión analítica de una función periódica que exprese la temperatura [math]T\left(x\right)[/math] en función del mes del año ([math]x\in\left[0,12\right][/math] siendo x=1 enero, x=2 febrero...) a partir de la composición de [math]f\left(x\right)=sin\left(x\right)[/math] con las funciones [math]h_1\left(x\right)[/math] y [math]h_2\left(x\right)[/math] correspondientes a este contexto.[br][br]Puedes ayudare del siguiente applet:
Gráficas de una función y su inversa
A continuación se muestra con un ejemplo muy sencillo cómo calcular la expresión analítica de la función inversa de una función dada:[br][br]Consideremos la función [math]f\left(x\right)=2x+1[/math].[br]Esta función asigna a cada número real, su doble más 1. Por tanto, su función inversa consistirá en dividir entre 2, y restar 1. Pero, ¿en qué orden? ¿será [math]f^{-1}\left(x\right)=\frac{x}{2}-1[/math] o tal vez [math]f^{-1}\left(x\right)=\frac{x-1}{2}[/math] ?[br][br]Para evitar confusiones se pueden seguir los siguientes pasos:.[br][color=#9900ff][br][/color][color=#9900ff] [1] Expresar [/color][math]f\left(x\right)[/math][color=#9900ff] con notación de coordenadas (es decir, escribir y en lugar de f(x))[/color][br][math]y=2x+1[/math][color=#9900ff][br][br] [2] Intercambiar x con y (una vez hecho esto, (x,y) ya es un punto de la función inversa)[br][br][/color][math]x=2y+1[/math][color=#9900ff][br][br] [3] Despejar y[br][br][/color][math]y=\frac{x-1}{2}[/math][color=#9900ff] [br][br] [4] Solución: [/color][math]f^{-1}\left(x\right)=\frac{x-1}{2}[/math][color=#9900ff].[br][/color][br][br]Ese paso de intercambiar x con y, gráficamente se puede mostrar con un giro y una simetría.[br][br]Observa la gráfica de las siguientes funciones, y la de sus inversas mediante esa transformación (giro+simetría):
Escribe las expresiones analíticas de la función inversa de cada una de las cuatro funciones anteriores,[br]
¿Cómo dirías que es la gráfica de una función respecto a la de su inversa?
Habrás observado que la función [math]f\left(x\right)=\frac{1}{x}[/math] en una función especial ya que ella es su propia inversa. Por ese motivo se llama función involutiva. Indica otras tres funciones que sean involutivas.