[right][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][i][b]geogebra-books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url] ([color=#ff7700][i][b]31. März 2020[/b][/i][/color]).[/size][br][/right][size=85][u][i][b][color=#0000ff][size=100]Parameterdarstellung 2-teiliger bizirkularer Quartiken in Normalform[/size][/color][/b][/i][/u][br][color=#ff7700][i][b]Bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] entstehen als Schnitt der [color=#0000ff][i][b]Möbiusquadrik[/b][/i][/color] (im Applet ist das die [b]RIEMANN[/b]sche [color=#ff0000][i][b]Zahlenkugel[/b][/i][/color]) mit einer [br]2.-ten Quadrik: [list][*]Schneide [math]x^2+y^2+z^2-1=0[/math] mit dem Zylinder [math]\alpha\cdot x^2+\beta\cdot y^2+\gamma\cdot x+\delta\cdot y+\epsilon+0\cdot z=0[/math]. [br]Dies ergibt, stereographisch projiziert, [math]\kappa\cdot\left(x^2+y^2\right)^2+L\left(x,y\right)\cdot\left(x^2+y^2\right)+Q\left(x,y\right)=0[/math] [br]mit linearem [math]L[/math] und quadratischem [math]Q[/math], also insgesamt eine [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] mit 9 reellen Koeffizienten. [/*][/list]Ist eine solche [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color] [b]2-teilig[/b], so besitzt sie [b]4[/b] paarweise [color=#BF9000][i][b]orthogonale Symmetrie-Kreise[/b][/i][/color], einer davon ist imaginär.[br]Mit einer geeigneten [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color] erhält man die beiden Achsen und den Einheitskreis als reelle [color=#BF9000][i][b]Symmetriekreise[/b][/i][/color].[br]Die Geichung reduziert sich dann auf die [color=#274E13][i][b]Normalform[/b][/i][/color]: [math]\left(x^2+y^2\right)^2-2\cdot A_x\cdot x^2-2\cdot B_y\cdot y^2+1=0[/math], [math]\hookrightarrow[/math] siehe [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/QtRbfVht]die Seite zuvor[/url].[br]Die 2-teilige Form erklärt sich als Schnitt der [b]RIEMANN[/b]schen [color=#ff0000][i][b]Zahlenkugel[/b][/i][/color] mit einem achsen-symmetrischen [color=#ff7700][i][b]elliptischen Zylinder[/b][/i][/color], der die Kugel in 2 Teilen schneidet. ([math]\hookrightarrow[/math] siehe [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/P74HJAvp]Quartik als Quadrikschnitt[/url] und das [color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/s2797fyc]Kugel-Kegel-Schnitte[/url]).[br][size=85]Siehe auch die Seite über [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/m9kxcdrq]Projektionen[/url].[/size][br][br][u][i][b]Fall 1:[/b][/i][/u] [math]A_x\ge1[/math] und [math]B_y\ge1[/math] [br]Der [color=#BF9000][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color] trennt in der [math]xy[/math]-Ebene [math]\mathbb{C}[/math] die beiden Teile, die [i][b]Quartik[/b][/i] schneidet die Achsen in den Scheitelwerten[br][list][*][math]s_x:=\pm\sqrt{A_x\pm\sqrt{A_x^2-1}}[/math] und [math]s_y:=\pm\sqrt{B_y\pm\sqrt{B_y^2-1}}[/math].[/*][/list][b]3D[/b] im Raum erhält man die [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] als Schnitt des orthogonalen [i][b]Zylinders[/b][/i] über der [color=#cc0000][i][b][br]Ellipse[/b][/i][/color] [math]a\cdot\cos\left(u\right)+i\cdot b\cdot\sin\left(u\right)[/math], [math]-\pi\le u\le\pi[/math] mit [math]a:=\frac{2\cdot s_x}{s_x^2+1}[/math] und [math]b:=\frac{2\cdot s_y}{s_y^2+1}[/math]. [br]Daraus ergeben sich die [color=#0000ff][i][b]Parameterdarstellungen[/b][/i][/color][br][list][*] Auf der Kugel: [math]BizQu3D_{\left\{\pm\right\}}\left(u\right):=\left(a\cdot \cos\left(u\right),b\cdot \sin\left(u\right),\pm\sqrt{1-a^2\cdot \cos^2\left(u\right)-b^2\cdot \sin^2\left(u\right)}\right)[/math], [math]-\pi\le u\le\pi[/math][/*][/list][/size][size=85]und [color=#20124D][i][b]stereographisch projiziert[/b][/i][/color][br][list][*] in der Ebene [math]\mathbb{C}[/math]: [math]BizQu_{\pm}(u):=\frac{1}{1\pm\sqrt{1-a^2\cdot \cos^2\left(u\right)-b^2\cdot \sin^2\left(u\right)}}\cdot\left(a\cdot \cos\left(u\right)+i\cdot b\cdot \sin\left(u\right)\right)[/math], [math]-\pi\le u\le\pi[/math] .[/*][/list]Für [math]A_x=1[/math] oder [math]B_y=1[/math] zerfällt die "[i][b]bi[/b][color=#ff7700][b]-zirkulare" Quartik[/b][/color][/i] in 2 [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][color=#000000], [/color][/color]die sich in [math]\pm1[/math] oder in [math]\pm i[/math] schneiden.[br]Zwei [color=#ff0000][i][b]konzentrische Kreise[/b][/i][/color] ergeben sich, wenn [math]A_x=B_y[/math] ist.[/size]

[size=85][u][i][b]Fall 2[/b][/i][/u]: [math]A_x\ge1[/math] und [math]B_y\le1[/math][br]Die [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color] schneidet die [math]x[/math]-Achse in den oben berechneten Scheiteln [math]s_x[/math], [br]und den [color=#BF9000][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color] in den Punkten [math]sE=sE_x+i\cdot sE_y[/math] mit [math]sE_x=\sqrt{\frac{B_y-1}{B_y-A_x}}[/math] und [math]sE_y=\sqrt{\frac{1-A_x}{B_y-A_x}}[/math], die [math]y[/math]-Achse wird nicht geschnitten.[br]Die [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color] [math]T\left(z\right)=\frac{z-1}{z+1}[/math] mit [math]-1\mapsto\infty\mapsto1\mapsto0\mapsto-1[/math] bildet den [color=#BF9000][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color] auf die [math]y[/math]-Achse ab, das Bild der [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] ist vom obige Typ ([u][i][b]Fall1[/b][/i][/u]). Die inverse [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color] ist [math]T^{-1}\left(z\right)=\frac{1+z}{1-z}[/math].[br]Die Scheitelwerte sind [math]Ts_x=\frac{s_x-1}{s_x+1}[/math] und [math]Ts_y=Im\left(T\left(sE\right)\right)[/math].[br]Für die [color=#cc0000][i][b]Ellipse [/b][/i][/color]erhält man die Werte [math]a_T=\frac{2\cdot Ts_x}{Ts_x^2+1}[/math] und [math]b_T=\frac{2\cdot Ts_y}{Ts_y^2+1}[/math] und daraus die [color=#0000ff][i][b]Parameterdarstellungen[/b][/i][/color][br][list][*] [b]3D[/b] Auf der Kugel: [math]TBizQu3D_{\pm}:=\left(\pm\sqrt{1-b_T^2\cdot \cos^2\left(u\right)-a_T^2\cdot \sin^2\left(u\right)},b_T\cdot \cos\left(u\right),a_T\cdot \sin\left(u\right)\right)[/math], [math]-\pi\le u\le\pi[/math][/*][/list][list][*] In [math]\mathbb{C}[/math]: [math]TBizQu_{\pm}:=T^{-1}\left(\frac{1}{1\pm\sqrt{1-a_T^2\cdot \cos^2\left(u\right)-b_T^2\cdot \sin^2\left(u\right)}}\cdot\left(a_T\cdot \cos\left(u\right)+i\cdot b_T\cdot \sin\left(u\right)\right)\right)[/math], [math]-\pi\le u\le\pi[/math] [/*][/list][u][i][b]Fall 3[/b][/i][/u]: [math]A_x\le1[/math] und [math]B_y\ge1[/math] Die [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] schneidet die [math]y[/math]-Achse und den [color=#BF9000][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color].[br]Die Möbiustransformation [math]Ti\left(z\right)=\frac{z-i}{1-i\cdot z}[/math] mit [math]0\mapsto-i\mapsto\infty\mapsto i\mapsto0[/math] bildet den [/size][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color][/size] auf die [math]x[/math]-Achse ab.[br]Scheitelwerte sind [math]Tis_y=Im\left(Ti\left(i\cdot s_y\right)\right)[/math] und [math]Tis_x=Re\left(Ti\left(sE\right)\right)[/math].[br]Für die [color=#cc0000][i][b]Ellipse[/b][/i][/color] erhält man die Werte [math]a_{Ti}=\frac{2\cdot Tis_x}{Tis_x^2+1}[/math] und [math]b_{Ti}=\frac{Tis_y}{Tis_y^2+1}[/math] und daraus die [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]Parameterdarstellungen[/b][/i][/color][/size][br][list][*] [b]3D[/b] Auf der Kugel: [math]TiBizQu3D_{\pm}:=\left(a_{Ti}\cdot \cos\left(u\right),\pm\sqrt{1-a_{Ti}^2\cdot \cos^2\left(u\right)-b_{Ti}^2\cdot \sin^2\left(u\right)},b_{Ti}\cdot \sin\left(u\right)\right)[/math], [math]-\pi\le u\le\pi[/math][/*][/list][list][*] In [math]\mathbb{C}[/math]: [math]TiBizQu_{\pm}:=Ti^{-1}\left(\frac{1}{1\pm\sqrt{1-a_{Ti}^2\cdot \cos^2\left(u\right)-b_{Ti}^2\cdot \sin^2\left(u\right)}}\cdot\left(a_{Ti}\cdot \cos\left(u\right)+i\cdot b_{Ti}\cdot \sin\left(u\right)\right)\right)[/math], [math]-\pi\le u\le\pi[/math][/*][/list][/size]

[size=85][i][size=100][b]Die [/b][b][color=#00ff00]Brennpunkte[/color] der [color=#ff7700]bizirkularen Quartik[/color]:[/b][/size][/i][br][list][*]Für [math]1\le A_x\le B_y[/math] und für [math]B_y\le-1[/math], [math]1\le A_x[/math] liegen die [size=85][i][b][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/b][/i][/size] auf der [math]x[/math]-Achse:[br] [math]f_x=\sqrt{Q_x+\sqrt{Q_x^2-1}}[/math] mit [math]Q_x=\frac{2\cdot s_x^2-B_y\cdot\left(s_x^4+1\right)}{(s_x^4+1)-2\cdot B_y\cdot s_x^2}[/math][/*][*]Für [math]A_x > B_y >1[/math] und für [math]A_x\le-1[/math], [math]1\le B_y[/math] liegen die [size=85][size=85][i][b][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/b][/i][/size][/size] auf der [math]y[/math]-Achse: [br] [math]f_y=\sqrt{Q_y+\sqrt{Q_y^2-1}}[/math] mit [math]Q_y=\frac{2\cdot s_y^2-A_x\cdot\left(s_y^4+1\right)}{(s_y^4+1)-2\cdot A_x\cdot s_y^2}[/math][/*][/list]Liegt [math]A_x[/math] oder [math]B_y[/math] zwischen -1 und 1, so liegen die [/size][size=85][size=85][size=85][size=85][i][b][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/b][/i][/size][/size][/size] auf dem [color=#BF9000][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color]. Mit Hilfe der oben angegebenen [color=#0000ff][i][b]Transformationen[/b][/i][/color] kann man sie berechnen. Für die [color=#274E13][i][b]Parameterdarstellung[/b][/i][/color] sind die [color=#00ff00][b]Brennpunkte[/b][/color] nicht nötig.[br][br]Da [color=#980000][i][b]ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_ellipse3.png[/icon]gebra[/b][/i][/color] die Wurzelfunktion auch als [i][b]komplexe Funktion[/b][/i] erkennt, kann man die [color=#cc0000][i][b]Ellipsen[/b][/i][/color]-[color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][color=#000000] komplex und trickreich berechnen: [br] [math]f_{\left\{elli\right\}}=\pm \sqrt{a^2-b^2+0\cdot i}+0\cdot i[/math][/color][/color] [size=50](ohne[/size] [math]+0\cdot i[/math] [size=50]würden für[/size] [math]a^2-b^2 < 0 [/math] [size=50]keine [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] auf der[/size] [math]y[/math]-[/size][size=85][size=50]Achse berechnet werden!)[/size][/size][br][br][size=50]Eine technische Bemerkung zu [color=#980000][i][b]ge[/b][/i][/color][/size][color=#980000][i][b][icon]/images/ggb/toolbar/mode_sphere2.png[/icon][/b][/i][/color][size=50][color=#980000][i][b]gebra[/b][/i][/color]: [br]Die [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color][/size] [math]T_2\left(z\right)[/math] [size=50]läßt sich nicht direkt wie oben angegeben als Funktion von [math]z[/math] definieren: verlangt wird eine "[i]explizite Funktion in[/i][/size] [math]x[/math]"[size=50]. [br]Definiert man jedoch die "[i]Funktion in mehreren Variablen[/i]" [math]T\left(a,b,c,d,z\right):=\frac{a\cdot z+b}{c\cdot c+d}[/math], so kann man damit jede gleichsinnige [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color] mit komplexen Zahlen [math]a,b,c,d,z[/math] auswerten![/size]