Ekuazioen ebazpenerako errepasoa
[list] [*] Multiplo komunetako txikiena [*] Zatikiekin oinarrizko eragiketak [*] Aldai bakarreko lehenengo mailako ekuazioak [*] Lehenengo mailako ekuazio sistemak [/list]
Table of Contents
- OD 0 : Oinarrizko eragiketak
- Zatikien arteko batuketa eta kenketak
- Zatikien arteko biderkaketa
- Deskomposaketa faktoriala
- Multiplo Komun Txikiena &Zatitzaile Komun Handiena
- OD1 : 1 Monomioak eta Polinomioak
- Polinomioen grafikoak
- OD 2 : 1. mailako ekuazioak
- Ekuazio linealak ebazten
- Ebazteko ariketak
- 1.mailako ekuazioa
- Irudikatzeko ariketak
- AUTO LASTERKETA BATEN ALDAKETA TASAK
- OD 3 : Ekuazio sistemak ebazteko metodoak
- Lan-orriaren Adibidea: Ekuazio Linealak
- Grafiko bidezko sistema linealen ebazpena
- Ekuazio linealen sistemen ebazpena
- OD 4 : 2.mailako ekuazioak
- Ekuazio koadratiko baten grafikoa
- Lotka-Volterra Modeloa
Zatikien arteko batuketa eta kenketak
Zatikien arteko eragiketak
[b]HELBURUA[/b][br]Zatikien arteko oinarrizko eragiketak egitea. [br][br][b]Pausuak[/b]:[br][list=1][*] [b]Izendatzaile komuna[/b] bilatu behar zaie zatiki ezberdinei: Multiplo Komunetako Txikiena ([b]MKT[/b]).[/*][*] Zatiki bakoitzaren [b]BALIOKIDEA [/b]bilatu: izendatzailea eta zenbakitzailea, zenbaki beraz biderkatu.[/*][*]Eragiketa egin, eta sinplifikatu.[/*][/list][br][br][br][b]Comparing fractions [/b][br]See also [url=https://www.geogebra.org/material/show/id/qwjhd8kx]https://www.geogebra.org/material/show/id/qwjhd8kx[/url][br]
[b]Ikasleentzat galderak:[/b][br]1. Kalkulatu emaitza
Polinomioen grafikoak
3.mailako polinomioak
Grafikoak honako polinomioa bisualizatzen du: [math]p\left(x\right)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0[/math]. Aztertu koefizienteen aldaketak nola eragiten duen grafikoan.
Leading coefficient
Describe how the value of [math]a_3[/math] affects the graph of a third-degree polynomial.
Constant coefficient
What point does the coefficient [math]a_0[/math] represent on the graph?
As you are changing the coefficients, the graph of a third-degree polynomial is also changing.[br][br]However, there are certain patterns that can be generalized for all third degree polynomials. [br][br]Use the applet to describe possible cases of graphs and answer the following questions.
Zeros (x-intercepts)
How many zeros can a third-degree polynomial have? Consider all possible cases.
Turning points and terrace points
Turning points
What is the MAXIMUM NUMBER of turning points that a third-degree polynomial can have? [br](Turning point: local minimum or local maximum)
Terrace points
What is the MAXIMUM number of TERRACE POINTS that a third-degree polynomial can have?
FOURTH-DEGREE POLYNOMIALS
You will now be investigating graphs of fourth-degree polynomials. [br][br]Read the tip about working with the sliders.
Zeros
How many zeros can a fourth-degree polynomial have?
Turning points
What is the MAXIMUM NUMBER of turning points that a fourth-degree polynomial can have? [br](Turning point: local minimum or local maximum)
Terrace points
What is the MAXIMUM number of terrace points that a fourth-degree polynomial can have?
Higher-degree polynomials
The following applet allows you to analyze also some higher degree polynomials. [br][br]Your goal is to derive a general rule about the number of zeros and turning points of an n-th degree polynomial - see statements below.
GENERAL RULE about the number of ZEROS of a polynomial of n-th degree.
Complete the statement: [br][br]Polynomials of degree [math]n[/math] have at most ......... real zeros.
GENERAL RULE about the number of TURNING POINTS of a polynomial of n-th degree.
Complete the statement.[br][br]Polynomials of degree [math]n[/math] have at most ....... turning points.
Ekuazio linealak ebazten
1. Linear Equations
Ekuazio hauek lineal gisa ezagutzen dira, zati literal monomialak ez duelako adierazlerik (adibidez, 3x ekuazio lineal baten zati izan daiteke, baina 3x2 ezin da izan, koadratikoa delako), eta, beraz, grafiko batean lerro gisa agertzen da. Honek soluzio bat baldin badago soluzio bakarra izan daitekeela ziurtatzen digu (kasu berezietan amaigabeak izan ezik).[br][br][br]Konponbiderik ba ote dagoen esaten dugu, batzuetan ekuazioek ez dutelako konponbiderik. Adibidez, x = x + 1 ekuazioak (zenbaki batek hurrenez hurreneko zenbakiaren berdina esan nahi du) ez du soluziorik, hau ez baita inoiz egia. Izan ere, ekuazio hori 1 = 0ra murrizten da, eta hori ezinezkoa da.[br][br]
Pistak
[list][br][*]Ezinezko berdintasuna lortzen badugu, ez dago konponbiderik, 1 = 0 bezala.[/*][*]Beti egia den berdintasun bat lortzen badugu, edozein baliok konponbidea ematen duela ere, orduan konponbidea zenbaki errealak dira. Adibidez, 0 = 0 lortzen badugu.[/*][*]Izendatzaileak daudenean eta saihestu nahi ditugunean, ekuazio osoa biderkatu egiten dugu izendatzaileen multiplo komun txikienarekin. Horrela, sinplifikatzen garenean, desagertu egiten dira.[/*][*]Parentesia kentzeko, bere aurrean dagoen koefizientea biderkatzen dugu dituen elementu guztiekin. Koefiziente hori zeinu negatibo bat izan daiteke (adibidez, 1, edukia zeinuz aldatzen da), zeinu positibo bat (+1, edukia ez da aldatzen) edo zenbaki edo frakzio positibo edo negatibo bat (zenbaki horrek dena biderkatzen du parentesi artean, zeinuak aldatuz bere negatiboa bada).[/*][*]Parentesi habiatu bat dugunean, parentesi bat beste parentesi baten barruan, kanpotik barrura ateratzeko erregutzen dugu. Lehenik, kanpoko parentesia kentzen dugu (edukia koefizienteekin biderkatuz) eta, ondoren, gainerakoa era berean kentzen dugu, kanpokoenetik barnekoenera.[/*][/list]
[b]1.Adibidea[/b][br][br][img]https://www.matesfacil.com/ESO/Ecuaciones/Ecua1.jpg[/img][br]Gehitu (edo kendu) monomialak zati literalean (x 's x' rekin eta zenbakiak zenbakiekin). Alde batetik gehitzen dena, beste aldetik kentzen da, eta alderantziz.[br]Gero, X-a berdintasunaren alde batean jartzen dugu, eta zenbakiak bestean.[br][br][img]https://www.matesfacil.com/ESO/Ecuaciones/Ecua1-1.jpg[/img][br][br][b]2.adibidea[br][br][/b][b][img]https://www.matesfacil.com/ESO/Ecuaciones/Ecua3.jpg[/img][br][/b]Lehenik, parentesia kenduko dugu: aurrean zeinu negatiboa duenez, ausaz barneko elementu guztien zeinua.[br]Gero, X-a alde batean eta zenbakiak bestean multzokatzea besterik ez da falta.[br][br][img]https://www.matesfacil.com/ESO/Ecuaciones/Ecua1-3.jpg[/img][br]Izan ere, X-k koefiziente bat du, 2, hau da, biderkatu egiten da, eta beste aldera mugitzen da, zatituz.[br][br][b]Ebatzitako adibide gehiago:[br][/b][list][br][*][url=https://www.matesfacil.com/english/secondary/linear-equations-solved.html]Solved linear equations[/url][br][/*][*][url=https://www.matesfacil.com/english/secondary/resolved-problems-linear-equations.html]Solved problems of linear equations[/url][br][/*][/list]
Lan-orriaren Adibidea: Ekuazio Linealak
Behean dagozkien irristailuen bidez alda daitezkeen [i]m[/i] eta [i]b[/i] parametroak dituzten bi ekuazio lineal ikus daitezke.
1. Ariketa
Aztertu ekuazio linealen parametroek nola aldatzen dituzten dagozkien [img]https://www.geogebra.org/wiki/uploads/thumb/c/c8/Menu_view_graphics.svg/16px-Menu_view_graphics.svg.png[/img] [i]Ikuspegi Grafikoko[/i] zuzenak irristailuen balioak aldatuz.
2. Ariketa
Saiatu parametroak aldatzen zuzenek koordenatu-sistemaren jatorrian elkar moz dezaten. Zenbat soluzio aurki ditzakezu?
Ekuazio koadratiko baten grafikoa
Hiru irristagailuk ekuazio koadratiko baten koefizienteak -5etik -5era aldatzeko aukera ematen dute. [math]y = a x^2 + b x + c [/math] ekuazioaren parabolatik datorren ezaugarraik ikus daitezke:[br][list=1][br][*] Erpina[br][/*][*] Ordenatu jatorria[br][/*][*] [math] x_1 [/math] eta [math] x_2 [/math] emaitzak[br][/*][*] Simetria ardatza[br][/*][/list]
Esplorazioak:[br]Zer aldatzen da $c $aldatzen denean?[br]Zer da desberdina a< 0 edo a> 0 bat bada?[br]Nola aldatzen da forma a balio handiagoekin?[br]Nola mugitzen da grafikoa b balioaren baitan?[br]Jarri b = 0, eta nola aldatzen da bihurgunea?[br]Saiatu ekuazioak asmatzen erpinaren ibilbiderako (trazadurarako) koefiziente bakoitza aldatu ahala.
Erpin mugikorraren deskribapena
Behean ilustrazio bat dago, non Erpina mugitu eta intertzeptatu daitekeen. Ekuazio koadratikoak erakusten dira, baita parabola baten beste bi propietate ere, Directrix eta fokua. Parabola baten definizio batek lerro segmentu perpendikularra erabiltzen du Directrixetik kurba koadratikoaren elkargunera eta lerroaren segmentua elkargunetik fokura. Parabola batentzat bi lerroen luzerak berdinak lirateke, Directrixeko edozein puntutatik sortuak. Funtzio koadratikoak ez diren parabolak Directrix lerro batetik eta foku batetik defini daitezke.[br][br]Begira nola aldatzen den erpinetik fokurako distantzia parabola gero eta malkartsuagoa den heinean.