Funktionen
Table of Contents
- Funktionen - allgemein
- Rechtskurve und Linkskurve
- Nullstellen
- Mehrfache Nullstellen
- Änderungsmaße
- Änderungsmaße
- Differentialrechnung
- Differenzen- und Differentialquotient
- Lupe und Tangente
- Grafisches Differenzieren von Funktionen
- Integralrechnung
- Unter- und Obersumme
- Integrator I (Untersumme, Obersumme, Integral)
Rechtskurve und Linkskurve
Definition von Rechts- und Linkskurve sowie hinreichende Bedingungen
Rechtskurve und Linkskurve
Mehrfache Nullstellen
mehrfache Nullstellen
Änderungsmaße
Differenzen- und Differentialquotient
[b]Definition[/b][br]Sei f eine Funktion [math]f: \, ]a; b[ \rightarrow\mathbb{R}[/math].[br]Dann heißt [b]f[/b] an einer Stelle [math]x_0\in]a; b[[/math] [b]differenzierbar[/b], wenn der Grenzwert [br] [math] \lim_{h\to 0} \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h} \qquad[br]\left(= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f\left(x_0+ \Delta x \right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x} = [br]\lim_{x \to x_0} \frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}\right)[/math][br]existiert.[br][br]In dem Applet ist der Graph der Funktion f: R → R; f(x) = 0,1·x² + 1 dargestellt.[br][br][b]Aufgabe[/b][br][list][*]Verändere mithilfe des Schiebereglers für Δx den Abstand zwischen den Punkten A und B.[/*][*]Notiere für Δx = 3,5 ; 3,0 ; 2,5; 2,0; 1,5; 1,2 und 1,1 die Steigung k der Sekanten durch die Punkte A und B. [br][/*][*]Welche Steigung k der Tangente im Punkt A lässt sich als Grenzwert der Sekantensteigungen vermuten?[/*][*]Führe dieselbe Aufgabe für die Funktion f(x) = 0.1·x² durch.[/*][/list]
Multiple Choice Fragen
Kreuze die richtige(n) Aussage(n) an.
Unter- und Obersumme
Das Applet zeigt die [b]Ober- bzw. Untersumme[/b] für die [b]Funktion f[/b] im Intervall [b][a; b][/b].[br][br]Verändere mit dem Schieberegler die Anzahl der Unterteilungen n im Intervall [a; b].[br][br][b]Aufgabe[/b][br][list][*]Ab wie vielen Unterteilungen unterscheiden sich Unter- und Obersumme der Funktion f(x) = 0,1·x² im Intervall [3; 6] um weniger als 0,2?[/*][*]Untersuche die Funktion f(x) = cos(x).[br]Beachte, wie die Unter- bzw. Obersumme in jedem Teilintervall stets das Minimum bzw. Maximum annimmt.[br]Berechne die Unter- bzw. Obersumme im Intervall [0; π] für n = 30.[/*][/list][br]Hinweis: [br]Die Folge der Ober- bzw- Untersummen muss nicht monoton fallend bzw. monoton steigend sein.[br]Am Beispiel [math]f\left(x\right)=e^{sin\left(-x^2\right)}[/math] kann das überprüft werden.