In het wiskunde onderwijs is [math]\varphi[/math] totaal afwezig. Elke wiskundige software bouwt [math]\pi[/math] en e in, maar het is tevergeefs zoeken naar [math]\varphi[/math].[br]Eén eigenschap zorgt er voor dat je [math]\varphi[/math] terugvindt... als je weet waar je moet zoeken.

[i][table][tr][td][i][img]data:image/png;base64,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[/img][/i][/td][td][i][b]In een rechthoekige driehoek geven de verhoudingen van de zijden [i][b]informatie over de grootte van de scherpe hoeken[/b][/i]. [br]We noemen ze [i][b]goniometrische getallen[/b][/i] .[/b][/i][/td][/tr][/table][/i][br]Versleep beide groene punten in het applet en zie hoe je in een rechthoekige driehoek de sinus van een scherpe hoek berekent.

[list][*][math]sin\;45°=\frac{\sqrt{2}}{2}[/math] en [math]sin\;60°=\frac{\sqrt{3}}{2}[/math]. Het gevolg is[br]Meet en reken je met vierkanten, dan kom je hoeken van 45° tegen en dus ook [math]\sqrt{2}[/math], [br]meet en reken je in regelmatige zeshoeken kom je hoeken van 60° tegen en dus ook [math]\sqrt{3}[/math].[/*][*]Veel minder bekend is de gelijkheid [math]sin 18°=\frac{\sqrt{5}-1}{4}[/math] of met andere woorden [math]sin18°=\frac{\varphi}{2}[/math].[br]18° zegt je misschien niet veel, maar de veelvouden: [math]36°=\frac{360°}{10}[/math] en [math]72°=\frac{360°}{5}[/math] kom je onvermijdelijk tegen wanneer je met regelmatige tienhoeken of vijfhoeken werkt of in de ruimte met twaalfvlakken.[/*][/list]Net zo min als de wortelvormen [math]\sqrt{2}[/math] en [math]\sqrt{3}[/math] het vierkant of de zeshoek bijzonder maken, maakt ook het voorkomen van [math]\varphi[/math] vijf- en tienhoeken niet bijzonder. [br]Een aantal van deze voorbeelden vind je uitgewerkt in het hoofdstuk [url=https://www.geogebra.org/m/h9ywaeeg#chapter/1110470]phi en meetkunde[/url].

[url=https://www.geogebra.org/m/h9ywaeeg#material/xdmy7jhe]Chris Impens[/url] definieert het getal [math]\varphi[/math](phi) als het positieve getal met eigenschap: [math]\frac{1}{\varphi}=1+\varphi[/math], m.a.w. [math]\frac{1}{0.618...}=1.618...[/math][br]Het getal [math]\varphi[/math] is het enige getal met deze eigenschap. Rekenkundig kan je nagaan dat [math]\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}[/math].[br]In de praktijk wordt [math]\frac{\sqrt{5}+1}{2}[/math] vaak geschreven als [math]\Phi[/math] (PHI), zodat je krijgt [math]\frac{1}{\varphi}=\Phi[/math].