[size=85][size=50][right]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebrabooks[/b][/i][/color] [color=#0000ff][i][b][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url][/b][/i][/color] ([color=#ff7700][i][b]12.09.2021[/b][/i][/color])[br]verbessert [color=#ff7700][i][b]30.01.2023[/b][/i][/color][/right][/size][br]In der um [math]\infty[/math] erweiterten [b]GAUSS[/b]schen Zahlenebene [math]\mathbb{C}\cup\{\infty\}[/math] sind die gleichsinnigen [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformationen[/b][/i][/color][br]gerade die gebrochen-linearen [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]Transformationen[/b][/i][/color][/size][br][/size][list][*][size=85][math]z\mapsto Tz=\frac{a\cdot z+b}{c\cdot z+d}[/math][/size], [size=85]mit[/size] [math]a,b,c,d\in\mathbb{C}[/math] [size=85]und [/size][math]\mathbf{det}\left(\begin{array}{c c} a & b\\ c & d\end{array}\right)\ne0[/math]. [br][/*][/list][size=85]Die Koeffizienten können im Applet variiert werden![/size][size=85] Ihre geometrische Bedeutung ist allerdings kaum zu erkennen.[br]Die Gruppe der [i]gleichsinnigen[/i] [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]Möbiustransformationen[/b][/i][/color][/size] ist isomorph zu[/size] [math]\mathbf{SL}\left(2,\mathbb{C}\right) \setminus \{ id,-id\}[/math].[size=85][br]Ungleichsinnige [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]Möbiustransformationen[/b][/i][/color][/size] erhält man durch Verknüpfung mit [color=#ff0000][i][b]Kreisspiegelungen[/b][/i][/color], zB. mit [math]z\mapsto \bar{z}[/math].[br]Gleichsinnige [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]Möbiustransformationen[/b][/i][/color][/size] sind [color=#ff0000][i][b]kreistreu[/b][/i][/color] und [color=#38761D][i][b]winkeltreu[/b][/i][/color].[br][br]Irgendwo im [color=#980000][i][b]geogebra[/b][/i][/color]-Handbuch ist angegeben: [color=#980000][i][b]geogebra[/b][/i][/color] unterstützt die [color=#0000ff][i][b]komplexen Zahlen[/b][/i][/color] [i][b]nicht[/b][/i]![br]Das stimmt weiterhin an manchen Stellen (s.u.), jedoch läßt sich in [color=#980000][i][b]geogebra[/b][/i][/color] inzwischen trefflich und problemlos[br] mit [color=#0000ff][i][b]komplexen Funktionen[/b][/i][/color] wie Polynomen in [math]z[/math], oder[br] [math]\mbox{ }z\mapsto \sin\left(z\right),z\mapsto \cos\left(z\right),z\mapsto \tan\left(z\right),z\mapsto \exp\left(z\right),z\mapsto\sqrt{z}\mbox{ und auch }z\mapsto Tz=\frac{a\cdot z+b}{c\cdot z+d}[/math] [br]rechnen.[br][br]Jede nicht-konstante gleichsinnige [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color][/size] besitzt 2 [i][b]Fixpunkte[/b][/i] oder einen doppelt-zählenden [i][b]Fixpunkt[/b][/i]![br][br]Allerdings ist es uns nicht gelungen, die einfache [color=#ff7700][i][b]quadratische Gleichung[/b][/i][/color] [math]z=Tz=\frac{a\cdot z+b}{c\cdot z+d}[/math] in [color=#980000][i][b]geogebra-Algebra[/b][/i][/color] [br]oder [color=#980000][i][b]geogebra-CAS[/b][/i][/color] zu lösen.[br]Dies ist jedoch auch nicht nötig: mit dem Schulwissen über [i][b]quadratische Gleichungen[/b][/i] berechnet man [i][b]händisch[/b][/i]:[br][list][*][math]z_{1/2}=\frac{a-d \pm \sqrt{\left(a-d\right)^2+4\cdot b\cdot c}}{2\cdot c}[/math], eine doppelt zählende Lösung, wenn die [i][b]Diskriminante[/b][/i] verschwindet.[/*][/list]Dass die Koeffizienten der [/size][size=85][size=85][i][b]quadratische Gleichung[/b][/i][/size] komplex sind, ist zwar ungewohnt, aber [br]kein Problem: die [math]\sqrt{ }-[/math]Funktion erkennt und rechnet [color=#0000ff][i][b]komplex[/b][/i][/color]![br][br]Oben im Applet wird dargestellt, wie eine [/size][size=85][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color][/size][/size] ein [math]xy[/math]-Gitter abbbildet.[br]Zur Information wird auch gezeigt, wie diese [/size][size=85][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color][/size][/size] die [color=#ff0000][i][b]orthogonalen Kreisbüschel[/b][/i][/color] um [math]z_1[/math][br]und [math]z_2[/math] auf ebensolche [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] um [math]Tz_1=z_1[/math]und [math]Tz_2=z_2[/math] abbildet: [br]diese [color=#0000ff][i][b]Transformationen[/b][/i][/color] sind kreis- und winkeltreu![br]Besitzt die [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]Transformation[/b][/i][/color][/size] nur einen Fixpunkt, sind die abgebildeten [color=#ff7700][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] parabolisch: [br]sie berühren sich im Fixpunkt.[/size]