Meistens werden neben den Extrempunkten noch andere Eigenschaften der ganzrationalen Funktion untersucht. Dies haben wir bereits in Klasse 10 gelernt, und es ist hilfreich, dies alles noch einmal gründlich zu wiederholen. Dazu bitte [url=https://www.geogebra.org/m/mwKBQPGN]hier klicken[/url].

Um das Folgende verstehen zu können, müssen Sie wissen (und am besten auch verstanden haben), was die Ableitung eigentlich bedeutet.[br][br][size=150][b]Merke:[/b][b] [color=#ff0000]Die Ableitung f'(x) gibt die Steigung der Tangente des Graphen an der Stelle x an.[/color][/b][b][br][/b][/size]

Die Steigung der Tangente an der Stelle x ist aber dieselbe wie die Steigung der Funktion f an dieser Stelle. Klicken Sie,um das zu sehen, im folgenden Applet den Punkt [color=#0000ff]A[/color] an. Zoomen Sie nun diesen Bereich heran, indem Sie das Mausrad betätigen bzw. mit beiden Fingern über das Touch-Pad nach oben oder unten streichen.

Wir sehen also: An der Stelle x haben der Funktionsgraph und die Tangente dieselbe Steigung. Damit gibt die Ableitung nicht nur die Steigung der Tangente, sondern auch die Steigung des Graphen an der Stelle x an.[br][br][size=150][b]Merke: [color=#ff0000]Die Ableitung f'(x) gibt die Steigung des Graphen an der Stelle x an.[/color][/b][/size]

Ziehen Sie mit der Maus im folgenden Applet den Punkt A den Graphen einer Funktion f entlang. Beobachten Sie dabei die Werte der Tangentensteigung m[sub]t[/sub], d.h. der Ableitung f'(x).[br]Es gibt drei Stellen x, an denen die Steigung der Tangente m[sub]t[/sub] null ist. Finden Sie diese.

Als Ergebnis halten wir folgende Zusammenhänge fest:[br][br][list][*]In Bereichen, in denen [color=#ff0000]f'(x) < 0 (negativ)[/color] ist, da ist f streng monoton [color=#ff0000]fallend[/color].[/*][*]In Bereichen, in denen[color=#ff0000] f'(x) > 0 (positiv)[/color] ist, da ist f streng monoton[color=#ff0000] steigend[/color].[/*][*]Hat f an der Stelle x[sub]H[/sub] einen [color=#ff0000]Hochpunkt[/color], so ist dort die Tangente waagerecht, d.h. [color=#ff0000]m[sub]t[/sub] = f'(x[sub]H[/sub]) = 0[/color]. Außerdem [color=#ff0000]wechselt das Vorzeichen[/color] von m[sub]t[/sub], d.h. von f'(x) beim Übergang von links von x[sub]H[/sub] nach rechts [color=#ff0000]von + nach -[/color].[/*][*]Hat f an der Stelle x[sub]T[/sub] einen [color=#ff0000]Tiefpunkt[/color], so ist dort die Tangente waagerecht, d.h. [color=#ff0000]m[sub]t[/sub] = f'(x[sub]T[/sub]) = 0[/color]. Außerdem [color=#ff0000]wechselt das Vorzeichen[/color] von m[sub]t[/sub], d.h. von f'(x) beim Übergang von links von x[sub]T[/sub] nach rechts von [color=#ff0000]- nach +[/color].[/*][*]Ein [color=#ff0000]Terassenpunkt[/color] liegt vor, wenn gilt: m[sub]t[/sub] = f'(x[sub]TP[/sub]) = 0, und f'(x) hat rechts und links von x[sub]TP[/sub] dasselbe Vorzeichen, [color=#ff0000]wechselt[/color] also [color=#ff0000]das Vorzeichen nicht[/color].[/*][/list][br]Machen Sie sich dies anhand des obigen Applets noch einmal klar.