Šroubovice
Šroubovice v praxi, matematický popis křivky
Table of Contents
- Zařazení a popis výukového materiálu
- Základní informace o materiálu
- Šroubovice kolem nás
- Šroubovice - nepřemístitelná překážka
- Šroubovice - ochrana proti zamrznutí vody
- Šroubovice - točité schody
- Šroubovice - model DNA
- Šroubovice - oprava Jakobínky
- Šroubovice - matematický popis
- Vymodelování šroubovice
- Délka šroubovice
- Jak určit délku šroubovice?
- Délka šroubovice
- Úkoly
- Úkol č. 1
- Řešení úkolu č. 1
- Úkol č. 2
- Řešení úkolu č. 2
- Úkol č. 3
- Řešení úkolu č. 3
- Úkol č. 4
- Řešení úkolu č. 4
Základní informace o materiálu
1. Základní informace
[list][*]Předmět: Matematika[br][/*][*]Ročník: Septima, 3. ročník (16, 17 let)[/*][*]Časová dotace: 1 - 2 vyučovací hodiny[/*][*]Požadavky na techniku: Počítač do dvojice, popř. učitelský počítač s projektorem[/*][/list]
2. Téma
[list][*]Šroubovice - šroubovice v praxi, délka šroubovice[/*][/list]
3. Získané dovednosti a znalosti
[list][*]žák zjistí, kde se může setkat se šroubovicí[/*][*]dokáže šroubovici matematicky popsat[/*][*]odvodí vztah pro délku šroubovice[/*][*]řeší jednoduché úkoly týkající se délky šroubovice[/*][/list]
4. Aplikace tématu v reálném životě
[list][*]odporový vodič namotaný kolem přívodní hadice na vodu, aby v zimě nezmrzla voda[/*][*]značení nepřemístitelné překážky[/*][/list]
5. Zdroje
[list][*]obrázky z internetu: [br]* https://www.google.cz/search?q=%C5%A1roubovice&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwj1gYyYsdLVAhVL1RQKHQFVAgwQ_AUICigB&biw=1707&bih=788&dpr=1.13#imgrc=RvHv7LK45yz9iM:[br]* https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Spiral_stairs[br]* http://www.trailrunningcup.cz/tiskove-zpravy/lipensky-pulmaraton-se-stava-kulisou-modreho-kodu/[br]* [size=50]https://www.google.cz/search?q=%C5%A1roubovice+dna+model&tbm=isch&imgil=NjRgjha3Ce5I4M%253A%253B6x9-xn5HZQiPlM%253Bhttps%25253A%25252F%25252Fwww.helago-cz.cz%25252Feshop-model-struktury-dvojite-sroubovice-dna-142277.html&source=iu&pf=m&fir=NjRgjha3Ce5I4M%253A%252C6x9-xn5HZQiPlM%252C_&usg=__YaabKaofYHNTSv9HLJocGip28c0%3D&biw=1707&bih=723&dpr=1.13&ved=0ahUKEwjRofXmx4nWAhVFXRQKHYpNBBIQyjcIMw&ei=gz6sWZHUC8W6UYqbkZAB#imgrc=yXFusLsXrlGzhM:[br]http://triplehelixpianotrio.org/contact.html[br][/size][/*][/list][list][*]vlastní fotografie[br][/*][*]vlastní GeoGebra applety[/*][/list]
Šroubovice - nepřemístitelná překážka
Nádraží Ostrava - Svinov
Značení nepřemístitelných překážek
Na obrázku výše si můžeme všimnout, jak se označuje překážka, kterou nelze přemístit. Používá se k tomu žlutá a černá barva. Barevné pásy jsou uspořádány do tvaru kopírující šroubovici.[br][br]Podrobnosti ke značení:[br]Podle ČSN ISO 3864 (018010) se označují žlutou barvou v kontrastu s barvou černou, rovnoměrným šikmým nebo levotočivým šroubovitým pruhováním o sklonu 45°, všechny trvalé nebo dočasné překážky, které mohou být zdrojem nehody nebo úrazu při nárazu na ně, při zakopnutí, klopýtnutí či sklouznutí, pádu apod. Žlutá barva musí pokrývat nejméně 50 % značky.
Sloup na železniční zastávce Chlumec u Č. Budějovic - detail
Na tomto sloupu vidíme v detailu vytvořené značení podle normy uvedené výše.[br]
Jak vytvořit značení?
Pomocí černožluté pásky?[br]Zakoupil jsem černožlutou pásku, abych vyzkoušel, jak se značení vytváří. Místo sloupu (nepřemístitelné překážky) jsem použil plastovou trubku.
Zkusil jsem navinout pásku na trubku po vrstvách - průměr trubky nesouhlasil se stoupáním barevných pruhů. Tak jsem musel improvizovat a pracně jsem vytvořil značení - viz následující obrázek vlevo.
Takto pěkně vypadá značení bohužel pouze z čelní strany trubky. Na opačné straně trubky na sebe jednotlivé barevné pruhy nenavazují, jak ukazuje obrázek vpravo.[br][br]Z této zkušenosti jsem usoudil, že při výrobě značení na sloupech zastávek postupují zaměstnanci drah jinak. Jak jsem zjistil, používají k tomu provázek, který na sloup natočí ve tvaru šroubovice a potom ručně vzniklé plochy nabarví. Ruční práce s barvou je hezky vidět na obrázku sloupu ze zastávky Chlumec výše.
Na další fotografii se můžeme podívat na označení nepřemístitelné překážky, které ale není umístěno na těleso tvaru válce. Tato fotka byla pořízena na železniční stanici v Omlenici.
K označení překážky může být použita i nalepovací páska, potom ale není tvar pruhů uspořádán do spirály, jak ukazuje další obrázek (Kamenný Újezd - Doly):
Vymodelování šroubovice
V následujícím GeoGebra appletu si ukážeme, jak vymodelovat v prostoru šroubovici a matematicky jí popsat.[br][br]Necháme bod [i]H[sub]xy[/sub][/i] obíhat v rovině určené osami [i]x[/i] a [i]y[/i] po kružnici s poloměrem [i]r[/i]. Tím získáme půdorysný průmět hledané křivky. Tak, jak se bod [i]H[/i][sub]xy [/sub]pohybuje po kružnici, začneme ho rovnoměrně "zvedat" ve směru osy [i]z[/i]. Zvyšující se úhel při pohybu po kružnici určuje rovnoměrně se zvyšující souřadnici [i]z[/i] v závislosti na nějakém násobku, který určuje "rychlost" přírůstku této souřadnice.[br][br]Výšku jednoho závitu šroubovice je možno měnit stejně jako poloměr válcové plochy, kolem které se šroubovice vine. Rychlost stoupání šroubovice je v appletu nastavena tak, aby se obtočila jednou na nastavenou výšku.
Jak určit délku šroubovice?
Obrázek k určení délky šroubovice
Sledujte obrázek výše. Bod [i]H[/i] obíhá po válcové ploše, jeho půdorysný průmět [math]H_{xy}[/math] obíhá kružnici. Necháme tento bod "běžet" po polopřímce a získáme tak jednu odvěsnu pravoúhlého trojúhelníku. Druhá odvěsna je určena vzdáleností bodu [i]H[/i] od podstavy, roviny [i]xy[/i]. Přepona tohoto trojúhelníku určuje aktuální délku šroubovice. Více k délce šroubovice v kapitole č. 5 - Úkoly.[br][br]
Úkol č. 1
Jak se vypočítá délka šroubovice?
Vypočítejte délku šroubovice (jednoho jejího závitu), znáte-li výšku jednoho závitu a poloměr podstavy příslušné válcové plochy.
Výřez z appletu předchozí kapitoly