Integralrechnung
Table of Contents
- Unter- und Obersummen
- Unter- und Obersumme
- Riemannsumme 1
- Stammfunktionen
- Stammfunktionen elementarer Funktionen
- Anwendungen
- Größe eines Sees
- Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen
- Volumen einer Pyramide
- Volumen eines Kegels
- Berechnung des Rotationsvolumens
- Berechnung der Länge einer Kurve
- Straßenverlauf
- Sonstiges
- Cavalieri-Prinzip
- Mittelwertsatz der Integralrechnung
- Konvergieren oder nicht konvergieren?
Unter- und Obersumme
Das Applet zeigt die [b]Ober- bzw. Untersumme[/b] für die [b]Funktion f[/b] im Intervall [b][a; b][/b].[br][br]Verändere mit dem Schieberegler die Anzahl der Unterteilungen n im Intervall [a; b].[br][br][b]Aufgabe[/b][br][list][*]Ab wie vielen Unterteilungen unterscheiden sich Unter- und Obersumme der Funktion f(x) = 0,1·x² im Intervall [3; 6] um weniger als 0,2?[/*][*]Untersuche die Funktion f(x) = cos(x).[br]Beachte, wie die Unter- bzw. Obersumme in jedem Teilintervall stets das Minimum bzw. Maximum annimmt.[br]Berechne die Unter- bzw. Obersumme im Intervall [0; π] für n = 30.[/*][/list][br]Hinweis: [br]Die Folge der Ober- bzw- Untersummen muss nicht monoton fallend bzw. monoton steigend sein.[br]Am Beispiel [math]f\left(x\right)=e^{sin\left(-x^2\right)}[/math] kann das überprüft werden.
Stammfunktionen elementarer Funktionen
Im unteren Grafikfenster wird eine Funktion vorgegeben, deren Stammfunktion zu bestimmen ist.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Gib in das Eingabefeld den Funktionsterm einer Stammfunktion (abgesehen von einer Konstanten c) ein.[br]Falls deine Antwort nicht korrekt ist, kannst du die richtige Lösung anzeigen lassen.[br]Übe an einigen weiteren Funktionen des Berechnung der Stammfunktion.[br][br][i]Hinweis: Gib die Exponentialfunktion zur Basis e am besten mit exp(x) ein.[/i]
Größe eines Sees
Die Größe eines Sees kann auf verschiedene Arten näherungsweise bestimmt werden.[br]- Durch Abzählen von überdeckten Quadraten[br]- Durch Einschreiben eines Vielecks[br]- Durch Angabe des Uferverlaufs mittels Polynomfunktionen und Einschreiben von Rechtecken[br][br]Ermittle mit diesen drei Methoden näherungsweise die Größe des Sees.
Cavalieri-Prinzip
Veranschaulichung der Berechnung eines Volumens nach dem Prinzip von Cavalieri