Moltiplicazione A∙B con A e B entrambi punti del piano cartesiano.[br]A∙B è il punto realizzato nel sistema di riferimento ( 0 , B , B⊥ )[br]con le coordinate che A ha nel sistema di riferimento ( 0 , 1 , i ),[br]ossia con A_x e A_y .[br]Vedi ▶ [url]http://tinyurl.com/moltiplicazione[/url]

moltiplicazione in C[br][list][*][b]estensione[/b] della moltiplicazione [b]a coefficienti reali[/b] alla moltiplicazione [b]a coefficienti complessi[/b]:[br][br] se [b]z=x+yi[/b], definiamo:   [b]z*w := x•w + y•ort(w)[/b]. [br][br]Dal momento che se z=x si ha y=0 e di conseguenza x*w = x•w. l'operazione * [b]estende a CxC[/b] la moltiplicazione • già definita su RxC. Pertanto continueremo a denotare col simbolo • (oppure, come già abbiamo spesso fatto, senza alcun simbolo) la nuova operazione * , che continueremo a chiamare ancora moltiplicazione, precisamente [b][i]moltiplicazione in C[/i][/b] oppure [i]moltiplicazione a coefficienti complessi[/i].[br][br]   Riassumendo:[/*][/list][list][*]moltiplicazione a coefficienti reali: [b]( x , w ) [img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/freccia.gif[/img] x•w[/b][br][/*][*]moltiplicazione a [color=#0000ff][url=http://w3.romascuola.net/gspes/c/applet/costruzione_zw.html]coefficienti complessi[/url][/color]: [b]( x + y•i , w ) [img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/freccia.gif[/img] x•w + y•ort(w)[/b][br][/*][/list][br][list][*]cambiamento di [b]base[/b]: la corrispondenza  z [img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/freccia.gif[/img] z•w associa al numero z, di coordinate x e y realizzate nel [b][i]sistema di riferimento[/i][/b] (detto anche "base") costituito da [b]1[/b] e [b]i[/b], in quanto x+yi=x•1+y•i=x•1+y•ort(1), quel punto che ha le [b]stesse coordinate[/b] x e y realizzate nel [b]sistema di riferimento[/b] costituito da [b]w[/b] e [b]ort(w)[/b], ossia x•w+y•ort(w), pertanto realizza le coordinate x e y rispetto a w, ovvero in una nuova scala in cui 1 viene sostituito da w. Per questo fatto tale corrispondenza viene chiamata omotetia (termine greco che significa [i]uguale disposizione[/i]; confronta le parole "[i]omotetico[/i]" e "[i]antitetico[/i]") in C. Riassumendo, possiamo dire che z•w rappresenta z realizzato nella scala (o base) di w invece che nella scala (o base) di 1[br] [/*][*]proprietà:[/*][/list][list][*]moltiplicazione per i:   abbiamo:   [b]i w = ( 0 + 1i ) w = 0w + 1 ort(w) = ort(w)[/b] [br]e     [b]z i = ( x + yi ) i = xi + y ort(i) = xi + y(-1) = -y + xi = ort(z)[/b]. In particolare:   [b]i[sup]2[/sup] = i•i = -1[/b]. [br]Pertanto: moltiplicare un numero complesso per l'unità immaginaria i significa [b]ortonormalizzarlo[/b][/*][*]espressione algebrica del prodotto:[br][b](x + yi)•(x' + y'i) = x•(x'+y'i) + y•ort(x'+y'i) = x•(x'+y'i) + y•(-y'+x'i) = ( x x' - y y' ) + ( x y' + x' y )i[/b][/*][*]commutativa: [b]z•w = w•z[/b] ([i]prova a dimostrare da solo la commutatività[/i])[/*][*]associativa: [b](z•w)•v = z•(w•v)[/b] ([i]prova a dimostrare da solo l'associatività[/i])[/*][*]distributiva: [b](z+w)•v = (z•v) + (w•v)[/b] (la commutatività permette di enunciare una sola distributività, senza distinguere quella sinistra da quella destra) ([i]prova a dimostrare da solo la distributività[/i])[/*][*]neutralità dell'uno: [b]1•z = z[/b] ([i]questa proprietà è del tutto immediata, in quanto 1 è reale[/i])[/*][*]coniugato del prodotto:   [b]z • w = z • w[/b]   ([i]prova a dimostrare da solo questa proprietà[/i]). [br]Fra i sette operatori isometrici coordinati distinti dall'identità, [b]conj[/b] è l'unico che [b]conserva il prodotto[/b]; tutti invece, come già visto, conservano le combinazioni lineari.[/*][/list]