Kugel: Volumen und Oberfläche
Volumen und Oberfläche der Kugel
Table of Contents
- Kugel als Rotationskörper
- Kugel als Rotationskörper
- Experiment zum Volumen
- Experiment zum Volumen einer Kugel
- Volumen Herleitung
- Volumen der Kugel
- Experiment zur Oberfläche
- Experiment: Oberfläche der Kugel
- Oberflächeninhalt Herleitung
- Oberfläche der Kugel
- Volumen und Oberfläche (HE)
- Volumen und Oberfläche (HE)
Kugel als Rotationskörper
[b]Eine Kugel entsteht durch Rotation eines Kreises um eine Gerade durch den Mittelpunkt.[br][br]Die Animation veranschaulicht dies.[br][/b]Bediene den Schieberegler und beobachte.
Experiment zum Volumen einer Kugel
Gegenstände des Experiments sind [br][list][*]die Kugel mit Radius r,[/*][*]ein Zylinder mit Radius r und der Zylinderhöhe h = 2r,[/*][*]ein Kegel mit Radius r und der Kegelhöhe h = 2r.[/*][/list]
Gib die Formel für den Zylinder mit h = 2r an.
[br] [br] [br]Bereits vor dem Experiment kannst du einen Zusammenhang zwischen dem Volumen von Kegel und Zylinder angeben:[br][br]
Das Experiment im Video:
[br] [br] [br]Formuliere Ergebnisse für das Volumen einer Kugel:[br]
Volumen der Kugel
Eine ausführliche Herleitung für die Volumenformel der Kugel im Video:
Experiment: Oberfläche der Kugel
[b][size=150]Eine experimentelle Herleitung der Volumenformel.[br]In der Hauptrolle: der Apfel! (berühmt durch seine Ähnlichkeit mit der Kugel)[/size][/b]
Oberfläche der Kugel
Herleitung: Formel für Inhalt der Kugeloberfläche
[br]Die Formel für den Oberflächeninhalt einer Kugel finden wir durch eine "[b]Näherung[/b]" (oder "Grenzwertbetrachtung").[br][b]Näherung [/b]bedeutet: je feiner man die Unterteilung (siehe Bild) wählt, desto [b]näher [/b]kommt man der wirklichen Oberfläche.
[list][*]Wir unterteilen die Oberfläche und erhalten viele [b][color=#ff00ff]Schnittpunkte[/color][/b].[/*][*]Wir verbinden die [color=#ff00ff]Schnittpunkte [/color]mit dem [b][color=#ff7700]Mittelpunkt M[/color][/b] der Kugel und erhalten viele [color=#0000ff][b]Pyramiden[/b][/color].[br][/*][*][i](Denke dir alle Teilflächen mit M verbunden - es entstehen [i]viele Pyramiden[/i])[/i][br][/*][*]Die [color=#38761D][b]Grundflächen [/b][/color]der Pyramiden sind Trapeze (oder Dreiecke).[br][/*][*]Alle [b][color=#38761D]Grundflächen A[sub]1[/sub] bis A[sub]n[/sub] [/color][/b]zusammen, ergeben näherungsweise die Oberfläche der Kugel.[br][/*][*]Die Pyramidenhöhen h sind näherungsweise gleich dem Kugelradius r![/*][*][b][i](Je feiner die Unterteilung, desto besser die Näherung!)[/i] [/b][/*][/list]
[list][*]Die Summe aller Pyramidenvolumen: [math]V_{Pyramiden}=\frac{1}{3}\cdot A_1\cdot h+\frac{1}{3}\cdot A_2\cdot h+\frac{1}{3}\cdot A_3\cdot h+...+\frac{1}{3}\cdot A_n\cdot h[/math][/*][/list][br][list][*]A[sub]1[/sub] bis A[sub]n[/sub] ausklammern: [math]V_{Pyramiden}=\frac{1}{3}\cdot\left(A_1+A_2+A_3+...+A_n\right)\cdot h[/math] [br][/*][/list][br][list][*]Die Summe aller Pyramidenvolumen ist [i][b]näherungsweise [/b][/i]gleich dem Kugelvolumen V[sub]Kugel[/sub].[/*][*]Die Summe aller Grundflächen A[sub]1[/sub] bis A[sub]n[/sub] ist [i][b]näherungsweise [/b][/i]gleich dem Oberflächeninhalt O[sub]Kugel[/sub].[/*][*]Die Pyramidenhöhen h sind [i][b]näherungsweise [/b][/i]gleich dem Kugelradius r. [br][/*][/list][br][list][*]also: [math]V_{Kugel}=\frac{1}{3}\cdot O_{Kugel}\cdot r[/math][/*][*]das Kugelvolumen kennen wir bereits: [math]V_{Kugel}=\frac{4}{3}\cdot r^3\cdot\pi[/math][/*][*]also: [math]\frac{1}{3}\cdot O_{Kugel}\cdot r=\frac{4}{3}\cdot r^3\cdot\pi[/math][/*][/list][br][list][*][i]"r und 3 kürzen":[/i] [math]O_{Kugel}=4\cdot r^2\cdot\pi[/math][/*][/list]
Volumen und Oberfläche (HE)
[color=#0000ff][b]Übernimm folgenden Hefteintrag mit Zeichnungen in dein Heft[/b][/color]: [icon]/images/ggb/toolbar/mode_pen.png[/icon]
HE V und O Kugel
