Kugel: Volumen und Oberfläche
"Volumen und Oberfläche der Kugel" als [b]interaktive Lernumgebung - begleitend zum Unterricht[/b] der Jahrgangsstufe 9I an bayerischen Realschulen [b]Die Lernumgebung ist konzipiert als Lernbegleiter für den traditionellen Unterricht mit Phasen entdeckenden Lernens in digitaler Form (Unterrichtskonzept: Entdeckendes Lernen mit mathematischer Kommunikation + Differenzierung + Feedback). [/b] [i]Hinweis: Bei Übungsaufgaben mit anschließendem Textfeld sind die Schülerinnen und Schüler gehalten, die Aufgabe schriftlich (z.B. im Heft) anzufertigen. Mit Hilfe des Textfeldes (ein Buchstabe muss eingetragen werden, dann wird der Button „Antwort überprüfen“ aktiviert) kann die Lösung überprüft werden.[/i]
Table of Contents
- Kugel als Rotationskörper
- Kugel als Rotationskörper
- Experiment zum Volumen
- Experiment zum Volumen einer Kugel
- Volumen Herleitung
- Volumen der Kugel
- Experiment zur Oberfläche
- Experiment: Oberfläche der Kugel
- Oberflächeninhalt Herleitung
- Oberfläche der Kugel
- Volumen und Oberfläche (HE)
- Volumen und Oberfläche (HE)
Kugel als Rotationskörper
[b]Eine Kugel entsteht durch Rotation eines Kreises um eine Gerade durch den Mittelpunkt.[br][br]Die Animation veranschaulicht dies.[br][/b]Bediene den Schieberegler und beobachte.
Experiment zum Volumen einer Kugel
Gegenstände des Experiments sind [br][list][*]die Kugel mit Radius r,[/*][*]ein Zylinder mit Radius r und der Zylinderhöhe h = 2r,[/*][*]ein Kegel mit Radius r und der Kegelhöhe h = 2r.[/*][/list]
Gib die Formel für den Zylinder mit h = 2r an.
[br] [br] [br]Bereits vor dem Experiment kannst du einen Zusammenhang zwischen dem Volumen von Kegel und Zylinder angeben:[br][br]
Das Experiment im Video:
[br] [br] [br]Formuliere Ergebnisse für das Volumen einer Kugel:[br]
Volumen der Kugel
Eine ausführliche Herleitung für die Volumenformel der Kugel im Video:
Experiment: Oberfläche der Kugel
[b][size=150]Eine experimentelle Herleitung der Volumenformel.[br]In der Hauptrolle: der Apfel! (berühmt durch seine Ähnlichkeit mit der Kugel)[/size][/b]
Oberfläche der Kugel
Herleitung: Formel für Inhalt der Kugeloberfläche
[br]Die Formel für den Oberflächeninhalt einer Kugel finden wir durch eine "[b]Näherung[/b]" (oder "Grenzwertbetrachtung").[br][b]Näherung [/b]bedeutet: je feiner man die Unterteilung (siehe Bild) wählt, desto [b]näher [/b]kommt man der wirklichen Oberfläche.
[list][*]Wir unterteilen die Oberfläche und erhalten viele [b][color=#ff00ff]Schnittpunkte[/color][/b].[/*][*]Wir verbinden die [color=#ff00ff]Schnittpunkte [/color]mit dem [b][color=#ff7700]Mittelpunkt M[/color][/b] der Kugel und erhalten viele [color=#0000ff][b]Pyramiden[/b][/color].[br][/*][*][i](Denke dir alle Teilflächen mit M verbunden - es entstehen [i]viele Pyramiden[/i])[/i][br][/*][*]Die [color=#38761D][b]Grundflächen [/b][/color]der Pyramiden sind Trapeze (oder Dreiecke).[br][/*][*]Alle [b][color=#38761D]Grundflächen A[sub]1[/sub] bis A[sub]n[/sub] [/color][/b]zusammen, ergeben näherungsweise die Oberfläche der Kugel.[br][/*][*]Die Pyramidenhöhen h sind näherungsweise gleich dem Kugelradius r![/*][*][b][i](Je feiner die Unterteilung, desto besser die Näherung!)[/i] [/b][/*][/list]
[list][*]Die Summe aller Pyramidenvolumen: [math]V_{Pyramiden}=\frac{1}{3}\cdot A_1\cdot h+\frac{1}{3}\cdot A_2\cdot h+\frac{1}{3}\cdot A_3\cdot h+...+\frac{1}{3}\cdot A_n\cdot h[/math][/*][/list][br][list][*]A[sub]1[/sub] bis A[sub]n[/sub] ausklammern: [math]V_{Pyramiden}=\frac{1}{3}\cdot\left(A_1+A_2+A_3+...+A_n\right)\cdot h[/math] [br][/*][/list][br][list][*]Die Summe aller Pyramidenvolumen ist [i][b]näherungsweise [/b][/i]gleich dem Kugelvolumen V[sub]Kugel[/sub].[/*][*]Die Summe aller Grundflächen A[sub]1[/sub] bis A[sub]n[/sub] ist [i][b]näherungsweise [/b][/i]gleich dem Oberflächeninhalt O[sub]Kugel[/sub].[/*][*]Die Pyramidenhöhen h sind [i][b]näherungsweise [/b][/i]gleich dem Kugelradius r. [br][/*][/list][br][list][*]also: [math]V_{Kugel}=\frac{1}{3}\cdot O_{Kugel}\cdot r[/math][/*][*]das Kugelvolumen kennen wir bereits: [math]V_{Kugel}=\frac{4}{3}\cdot r^3\cdot\pi[/math][/*][*]also: [math]\frac{1}{3}\cdot O_{Kugel}\cdot r=\frac{4}{3}\cdot r^3\cdot\pi[/math][/*][/list][br][list][*][i]"r und 3 kürzen":[/i] [math]O_{Kugel}=4\cdot r^2\cdot\pi[/math][/*][/list]
Volumen und Oberfläche (HE)
[color=#0000ff][b]Übernimm folgenden Hefteintrag mit Zeichnungen in dein Heft[/b][/color]: [icon]/images/ggb/toolbar/mode_pen.png[/icon]
HE V und O Kugel
