Mathe EF SCN
EF
Table des matières
- Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate
- Peter, der korrekte Autofahrer: Änderungen von Funktionen
- Wie schnell war das Auto in diesem Moment? - Momentangeschwindigkeit durch die lokale Änderungsrate
- x0-Methode
- Tangentensteigung / Momentane Änderungsrate
- Ableitung mit der h-Methode (Veranschaulichung)
- h-Methode - Differentialquotient
- Sekantensteigung Tangentensteigung Ableitung x gegen x0 Methode
- EF Blitzer Lokale Änderungsrate
- Tangentensurfer - Ableitungsfunktion
- Ableitungsfunktion
- Berechnung der Momentangeschwindigkeit von Usain Bolt
- Vertiefungsaufgabe Usain Bolt
- Von der Sekante zur Tangente - Von der Steigung in einem Punkt zum Steigungsverhalten einer Funktion
- Zusammenhänge zwischen einer Funktion f und ihrer Ableitung f'
- Grafisches Differenzieren
- Zusammenhang von Tangente und Normale
- Auf verschiedenen Wegen zur Ableitung
- Von der Sekante zur Tangente - Von der Steigung in einem Punkt zum Steigungsverhalten einer Funktion
- Zusammenhänge zwischen einer Funktion f und ihrer Ableitung f'
- Tangente und Normale
- Tangente und Normale
- Steigungswinkel
- tangens
- Steigung und Steigungswinkel
- Steigungswinkel üben
- Extrempunkte
- Hochpunkt, Tiefpunkt oder Sattelpunkt?
- Wendepunkte und Krümmungsverhalten
- Punkte und Vektoren in Ebene und Raum
- Punkte im zweidimensionalen Koordinatensystem
- Das dreidimensionale Koordinatensystem - Punkte, Achsen, Ebenen
- Punkte in das räumliche Koordinatensystem einzeichnen
- Abstand zweier Punkte im Raum
- Einführung Vektoren/Vektorrechnung
- Ortsvektoren
- Verbindungsvektor
- Der Gegenvektor
- Betrag eines Vektors im R²
- Betrag eines Vektors im R³
- Mit Vektoren rechnen
Peter, der korrekte Autofahrer: Änderungen von Funktionen
Aufgabe 1
[justify][color=#000000]Peter rühmt sich damit, ein besonders korrekter Autofahrer zu sein. Als er in den Sommerferien nach Belgien fährt, fällt ihm als erstes auf, dass in Belgien (anders als in Deutschland) auch auf den Autobahnen ein Tempolimit von 120[/color][color=#000000]km/h [/color][color=#000000]herrscht. [br][br]Nach einer Pause in De Panne fährt Peter die kürzeste Route zum 240km entfernten Lüttich (siehe Abbildung 1[/color][color=#000000]). [/color]Am Ziel [color=#000000]schaut Peter auf die Uhr: Er hat genau 2 Stunden gebraucht! War Peter wirklich so korrekt, wie er immer sagt und hat sich an das Tempolimit gehalten? [/color][color=#000000][br][br][b]1)[/b] [b]Untersuche[/b] [/color][color=#000000]das Fahrverhalten von Peter [/color][color=#000000]mithilfe der [b]Angaben von GoogleMaps[/b] (Abb. 1) und den [b]Aufzeichnungen von Peters Fahrtenschreiber [/b](Abb. 2). [b]Formuliere[/b] erste Vermutungen darüber, ob Peter wirklich ein besonders korrekter Autofahrer ist.[/color][/justify]
Abb. 1 Peters Route von Lüttich nach De Panne (Quelle: maps.google.de)
Abb. 2 Der Fahrtenschreiber (mit Lösung)
Aufgabe 2+3
[justify]Notiere erst die Lösungen zu Aufgabe 1 bevor du weitermachst.[br][br][b]2)[/b] [b]Berechne[/b] die [b]durchschnittliche Geschwindigkeit[/b] von Peter über [b]den gesamten Zeitraum. [/b]Nutze dafür die Formel für die mittlere Änderungsrate bzw. den Differenzenquotienten mit [math]m=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{y_2-y_{_1}}{x_2-x_1}[/math].[br][br]Um die Geschwindigkeit zu berechnen, wird die [i]Änderung des Ortes [math]\left(y_2-y_1\right)[/math] [/i]durch die [i]Änderung der Zeit[/i] [math]\left(x_1-x_2\right)[/math] dividiert, also [math]\frac{gefahrene.Strecke}{vergangene.Zeit}[/math].[br][b][br]3) Betrachte [/b]noch einmal den Graphen und [b]notiere[/b], woran du erkennen kannst, dass Peter nicht mit gleichmäßiger Geschwindigkeit gefahren ist. [b]Notiere,[/b] in welchen Bereichen besonders langsam gefahren ist und in welchen er einen Blitzer hätte auslösen können.[/justify]
Aufgabe 4
[justify]Nachdem du erste Untersuchungen des Graphen angestellt hast, geht es nun darum, abschnittweise zu untersuchen, wie schnell Peter zwischendurch war. [br][br][b]4) Untersuche[/b] den unterstehenden Graphen (Abb. 2.2) abschnittsweise. [br]Verwende dafür verschiedene Steigungsdreiecke. Variiere durch die beiden Schieberegler die zu untersuchende Stelle (=Zeit) und die größe des Steigungsdreiecks. Zoom auch ruhig in die Graphik rein! [b]Notiere[/b] erneut, in welchen Bereichen Peter wohl besonders schnell/besonders langsam gefahren ist und [b]begründe[/b] dies mit Hilfe der Steigungsdreiecke.[br][br]Über den Knopf [i]Lösung einblenden[/i] kannst du die Berechnungen einblenden. [br][br][b]5) Erkläre [/b]die [u]Bedeutung der Steigungsdreiecke[/u] und die [u]Bedeutung von "m"[/u] im Kontext der Autofahrt von Peter.[/justify]
Abbildung 2.2: Genauere Untersuchung von Peters Fahrt
Aufgabe 6+7+8
Bis jetzt hast du dir nur Abschnitte, also Zeiträume über mehrere Minuten, angeschaut. Nun versuchen wir, möglichst kurze Zeitpunkte zu untersuchen.[br][br][b]6)[/b] [b]Bestimme[/b] mithilfe der Steigungsdreiecke und der Lösungsanzeige in Abb. 2.2 möglichst genau die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt x=1. [b]Was fällt dir auf, wenn du den Zeitpunkt so genau wie möglich eingrenzen möchtest?[br][/b][br][b]7) Finde [/b]weitere Zeitpunkte, an denen Peter besonders schnell war.[br][br][b]8) Erkläre[/b], inwiefern sich die Vorgehensweisen bei der [u]Untersuchung von Zeiträumen[/u] und bei der [u]Untersuchung von Zeitpunkten[/u] unterscheiden.
Schlussfolgerungen
[br][list=1][*]Die [b]Änderung des Ortes[/b] in Relation zur Zeit (Strecke pro Zeit) ist die [b]Geschwindigkeit[/b]![/*][*]Mithilfe einer linearen Funktion (s. Steigungsdreieck) lassen sich ganzrationale Funktionen stückweise annähern! Die Steigung berechnet man durch die Steigungsformel ....[/*][*]Je .... das Steigungsdreieck, desto.... die Näherung![/*][*]Ist der Graph tendenziell flacher, ist das Steigungsdreieck ...! Ist der Graph tendenziell steiler, ist das Steigungsdreieck ...![/*][/list][br]Zeit für Fachbegriffe![br][list=1][*]Im Fall von Peter hast du die[b] mittlere Änderungsrate[/b] des Ortes untersucht: die Durchschnittsgeschwindigkeit[/*][*]Du hast sie mithilfe des [b]Differenzenquotienten [/b]berechnet. [/*][*]Je... die Stellen beieinander liegen, desto ... nähert der [b]Differenzenquotient[/b] die tatsächliche Steigung der Funktion![/*][*]Ist die Funktion flacher, ist die Änderungsrate .... Ist die Funktions steiler, ist die Änderungsrate ....![/*][*]Der [b]Differenzenquotient [/b]() berechnet nur die [b]mittlere Änderungsrate[/b], nicht die[b] exakte / momentane Änderungsrate[/b]![/*][/list]
Mittlere Änderungsrate
Die [b]mittlere Steigung [/b]eines Berges und die [b]Durchschnittsgeschwindigkeit[/b], man spricht auch von "mittlerer Geschwindigkeit", bei zum Beispiel einer Autofahrt, sind [b]mittlere Änderungsraten[/b]. [br][br]Mittlere Änderungsraten wie die mittlere Steigung und die mittlere Geschwindigkeit beziehen sich auf ein [b]Intervall[/b] (Abschnitt) und [u]nicht[/u] auf einen lokalen Punkt.[br][br][br]Die mittlere Änderungsrate (Steigung als auch Geschwindigkeit) berechnen wir mit dem [b]Differenzenquotienten[/b]:[br][br][math]m=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}[/math][br][br]Diese Formel wurde eben in [u]Abbildung 2.2 [/u](Genauere Untersuchung von Peters Fahrt) genutzt, um die mittleren Steigungen, die durch das Steigungsdreieck veranschaulicht wurden, zu berechnen.
Tangente und Normale
Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks, das von der x-Achse sowie von der Tangente und der Normale an den Graphen von [math]f[/math] im Punkt [math]P(x_0|f(x_0))[/math] gebildet wird.
tangens
Verander de hoek, versleep lijnstukken BC en DE[br]Wat valt je op?
Verander de hoek, versleep lijnstukken BC en DE[br]Wat valt je op?
Verander de hoek, versleep lijnstukken BC en DE[br]Wat valt je op?
Verander de hoek, versleep lijnstukken BC en DE[br]Wat valt je op?
tangens
tangens
tangens
tangens
Hochpunkt, Tiefpunkt oder Sattelpunkt?
Einleitung und Anleitung für die Bearbeitung des Arbeitsblattes:
[justify][b][u]Einleitung und Ausgangsfrage:[/u][/b][br]In diesem Arbeitsblatt gehen Sie den folgenden Fragen nach: [br][br]Wie kann man [b]Hoch-[/b] und [b]Tiefpunkte[/b], auch [b]Extrempunkte[/b] genannt, einer ganzrationalen Funktion [b]rechnerisch[/b] ermittelt?[br][br]Und wie kann man [b]rein rechnerisch beurteilen[/b], ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt?[br][br]Ein weiterer besonderer Punkt, mit dem man im Zuge dieser Frage unweigerlich konfrontiert wird, ist der sogenannte [b]Sattelpunkt[/b]. Sie werden im Zuge des Arbeitsblattes auch lernen, was es mit diesem Punkt auf sich hat.[br][br][b][u]Anleitung:[/u][/b][br]Gehen Sie das Arbeitsblatt [b]schrittweise[/b] von oben nach unten durch. [b]Sprich:[/b] Scrollen Sie zu Beginn [b]nicht [/b]einfach nach unten![br]Durch die Bearbeitung der Aufgaben werden Sie Schritt für Schritt zu einer Antwort der Ausgangsfrage geleitet werden :)[/justify][br]
Bevor es richtig los geht (Startbedingungen):
Für eine erfolgreiche Bearbeitung der Aufgaben ist es unerlässlich, dass Sie in der Lage sind ganzrationale Funktionen rechnerisch abzuleiten.[br][br]Überprüfen Sie sich mit Hilfe der folgenden Aufgaben selbst.
Bestimmen Sie jeweils die korrekte Ableitungsfunktion zur gegebenen Bestandsfunktion
[math]f\left(x\right)=5x^2[/math]
[math]f\left(x\right)=3x^3-2x^2[/math]
[math]f\left(x\right)=-5x+10[/math]
[math]f\left(x\right)=2x^5-3x^4+10x^3-5x^2+3x-2[/math]
Jetzt zurück zur Ausgangsfrage!
[size=100]Wie kann man Extrempunkte rechnerisch ermitteln und jeweils beurteilen, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt?[br][br][/size]Betrachten wir zum Beispiel [b]folgende Funktion[/b]:[size=150][size=200][br][math]f\left(x\right)=2x^5-0,2x^4-4x^3+2[/math][/size][/size][br][br]Ihre Aufgabe ist es [b]alle Hoch-[/b] [b]und[/b] [b]Tiefpunkte[/b] dieser Funktion [b]rechnerisch[/b] zu ermitteln.
Schritt 1: Erinnern Sie sich noch daran, was eine Besonderheit an Hoch- und Tiefpunkten ist?!
Schauen Sie sich dafür [b]Abbildung 1[/b] an und bearbeiten Sie die [b]nachfolgenden Aufgaben.[/b][br][br][b]Überprüfen[/b] Sie [b]nach[/b] Bearbeitung der Aufgaben Ihre Ergebnisse durch Einblenden der [b]Musterlösung[/b].
Abbildung 1
[br]
Aufgabe 1:
Wie viele[b] Extrempunkte [/b]hat der dargestellte Graph?
Aufgabe 2:
Welche [b]Steigung[/b] hat die [b]angelegte Tangente[/b] bzw. welchen Wert hat die [b]Ableitung [math]f'[/math][/b] an den jeweiligen [b]Extrempunkten[/b]?
Aufgabe 3:
[b]Erläutern[/b] Sie kurz den Zusammenhang zwischen Tangentensteigung und Ableitung.
Aufgabe 4:
Welche [b]Bedingung[/b] muss also erfüllt sein, wenn eine [b]Funktion einen Extrempunkt[/b] (also einen Hoch- oder Tiefpunkt) hat?[br][br]Diese Bedingung nennt man auch [b][color=#ff0000]notwendige Bedingung[/color][/b] für die Berechnung von Extrempunkten!
Schritt 2: Mit Kenntnis über die notwendige Bedingung für die Berechnung von Extrempunkten zurück zum Ausgangsbeispiel.
Ausgangsbeispiel:[br][br][math]f\left(x\right)=2x^5-0,2x^4-4x^3+2[/math]
Aufgabe 5:
[b]Schreiben[/b] Sie die [b]Funktionsgleichung von f(x) ab[/b] und bestimmen Sie die [b]erste Ableitung von f(x)[/b].
Aufgabe 6:
Bestimmen Sie mit Hilfe der [b][color=#ff0000]notwendigen Bedingung [/color][/b]alle x-Werte, an denen[b] ein Extrempunkt vorliegen[/b] könnte.[br][br]Setzen Sie dafür also [math]f'\left(x\right)=0[/math] und lösen Sie nach x auf. Nutzen Sie gerne den[b] Taschenrechner[/b]. [br][br]Runden Sie das Ergebnis nach der zweiten Nachkommastelle.
Schritt 3: Jetzt muss nur noch geklärt werden, ob an diesen Stellen tatsächlich Extrempunkte vorliegen und welche Art von Extrempunkt dies jeweils ist
Dies kann auf zwei Möglichkeiten entstehen. Für das Entdecken dieser Möglichkeiten schauen Sie sich [b]Abbildung 2[/b] an und bearbeiten Sie die nachfolgenden Aufgaben.
Abbildung 2
Aufgabe 7:
Untersuchen Sie mit Hilfe von Abbildung 2 wie sich die erste Ableitungsfunktion (durch Häkchen aktivieren) in der Umgebung des eingezeichneten Tiefpunktes (links und rechts daneben) verhält. [br][br]Was geschieht dabei mit dem Wert der Ableitung?
Aufgabe 8:
Beschreiben Sie mit Hilfe von [b]Abbildung 3[/b] wie sich der Wert der Ableitung in der direkten Umgebung eines Hochpunktes verhält.[br]
Abbildung 3
[br]
Aufgabe 9:
Formulieren Sie mit Hilfe Ihres Wissen über den Vorzeichenwechsel der Ableitung in der Umgebung von Extrempunkten einen [b]kurzen Merksatz[/b] zur Beurteilung, ob es sich bei einem Extrempunkt um einen [b]Hoch-[/b] / oder einen [b]Tiefpunkt[/b] handelt.[br][br]Ergänzen Sie ihn ggf. mit der Musterlösung.
Aufgabe 10:
Erläutern Sie anhand von [b]Abbildung 4,[/b] was man unter einem Sattelpunkt versteht und erklären Sie, was hier bezüglich des Vorzeichens der Ableitung zu beachten ist (Ist das Vorzeichenwechselkriterium für einen Sattelpunkt erfüllt?)
Abbildung 4
Aufgabe 11:
Wieder zurück zum Ausgangsproblem: [b]Beurteilen[/b] Sie nun mit Hilfe des [b]Vorzeichenwechselkriteriums[/b] für welchen der über die notwendige Bedingung ermittelten x-Werte ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt vorliegt.[br][br]Nehmen Sie dafür die [b]x-Werte aus der Lösung von Aufgabe 6 [/b]und rechnen Sie nach, ob bei [b]x-Werten links und rechts von den Extremstellen[/b] ein [b]Vorzeichenwechsel[/b] geschieht.[br]
Aufgabe 12:
Da die Ausgangsfrage auf Extrem[b]punkte[/b] (und Sattel[b]punkte[/b]) bezogen war, müssen noch die y-Koordinaten der jeweiligen Punkte ermittelt werden.[br][br]Berechnen Sie [b]für die ermittelten Hoch-, Tief- und Sattelpunkte[/b] die dazugehörigen [b]y-Werte[/b] von f(x) und geben Sie die entsprechende Punkte vollständig an.[br][br]f(x) lautete [math]f\left(x\right)=2x^5-0,2x^4-4x^3+2[/math]
Blick auf die Funktion (Ergebniskontrolle)
In der nachfolgenden [b]pdf-Datei [/b]können Sie sich die [b]Ausgangsfunktion f(x)[/b] mit den berechneten Hoch-, Tief- und Sattelpunkten zur abschließenden Kontrolle anschauen.
Darstellung der Ausgangsfunktion f(x)
Aufgabe 12:
Wie anfangs erwähnt gibt es zwei Methoden, um Hoch-, Tief- und Sattelpunkte zu unterscheiden. Das Vorzeichenwechselkriterium haben Sie nun als hinreichende Bedingung kennengelernt. [br][br]Erläutern Sie mit Blick auf die [b]zweite Ableitung f''(x)[/b] (das ist die Ableitung der Ableitung) in den [b]Abbildungen 2 , 3 und 4[/b] wie Hoch-, Tief- und Sattelpunkte ebenfalls unterschieden werden können.[br]
Vertiefungsaufgabe
Fertig? Stark! :))[br]Lesen Sie sich im Buch auf S. 89 den Merkkasten durch.[br]Beginnen Sie dann im Arbeitsheft S. 36, Aufgabe 1, um das Verfahren zu vertiefen
Punkte im zweidimensionalen Koordinatensystem
Arbeitsauftrag
Hier schauen wir uns noch einmal die Bedeutung von Koordinaten und dem Koordinatensystem an - erstmal ohne Funktionen, Nullstellen und Ableitungen.[br][br]In einem zweidimensionalen Koordinatensystem sind es ja immer zwei Koordinaten und man kann sie sich jeweils als Längen von Strecken vorstellen.[br][br][b]Aufgabe: Aktiviere [/b]dein Vorwissen zum zweidimensionalen und [b]vervollständige[/b] die Lücken und Satzanfänge.[br][br][b]Erkunde[/b] dafür das Applet unten.
M EF Wiederholung - Das zweidimensionale Koordinatensystem
