Questionário: Transformações

Exercício 1

Seja [math]R=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\mid-3\le x\le3,-1\le y\le1\right\}[/math] o domínio das transformações. [br]

Questão 1(a)

Qual é o conjunto imagem por uma Homotetia de razão 4?

[math]I=\left\{\left(u,v\right)\in\mathbb{R}^2\mid-4x\le u\le4x,\quad-4y\le v\le4y\right\}[/math] [math]I=\left\{\left(u,v\right)\in\mathbb{R}^2\mid-4\le u\le4,\quad-4\le v\le4\right\}[/math] [math]I=\left\{\left(u,v\right)\in\mathbb{R}^2\mid-4\le u\le4,\quad-12\le v\le12\right\}[/math] [math]I=\left\{\left(u,v\right)\in\mathbb{R}^2\mid-u\le x\le u,\quad-v\le y\le v\right\}[/math]

Questão 1(b)

Qual o conjunto imagem por uma rotação de 90°, no sentido anti-horário?

[math]I=\left\{\left(u,v\right)\in\mathbb{R}^2\mid-1\le u\le3,\quad-3\le v\le1\right\}[/math] [math]I=\left\{\left(u,v\right)\in\mathbb{R}^2\mid-y\le u\le y,\quad-x\le v\le x\right\}[/math] [math]I=\left\{\left(u,v\right)\in\mathbb{R}^2\mid-2x\le u\le2x,\quad-2y\le v\le2y\right\}[/math] [math]I=\left\{\left(u,v\right)\in\mathbb{R}^2\mid-x\le u\le x,\quad-y\le v\le y\right\}[/math]

Questão 1(c)

Qual o conjunto imagem por uma expansão de razão 2 sobre o eixo x e uma contração de razão 2 sobre o eixo y?

[math]I=\left\{\left(u,v\right)\in\mathbb{R}^2\mid-2x\le u\le2x,\quad\frac{-y}{2}\le v\le\frac{y}{2}\right\}[/math] [math]I=\left\{\left(u,v\right)\in\mathbb{R}^2\mid-x\le u\le x,\quad-y\le v\le y\right\}[/math] [math]I=\left\{\left(u,v\right)\in\mathbb{R}^2\mid\frac{-x}{2}\le u\le\frac{x}{2},\quad-3y\le v\le3y\right\}[/math] [math]I=\left\{\left(u,v\right)\in\mathbb{R}^2\mid-2\le u\le2,\quad-2\le v\le2\right\}[/math]

Questão 1(d)

Qual o conjunto imagem por uma translação em relação ao vetor (1,2)?

[math]I=\left\{\left(u,v\right)\in\mathbb{R}^2\mid x+1\le u\le x-1,\quad y+1\le v\le y-1\right\}[/math] [math]I=\left\{\left(u,v\right)\in\mathbb{R}^2\mid-x+1\le u\le x+1,\quad-y+2\le v\le y+2\right\}[/math] [math]I=\left\{\left(u,v\right)\in\mathbb{R}^2\mid-x+1\le u\le x-1,\quad-y+2\le v\le y-2\right\}[/math] [math]I=\left\{\left(u,v\right)\in\mathbb{R}^2\mid x\le u\le x-1,\quad y\le v\le y-2\right\}[/math]

Questão 1(e)

Qual o conjunto imagem por uma translação em relação ao vetor (1,2) e seguido de uma homotetia de razão 2?

Exercício 2

Seja [math]E=\left\{\left(x,y\right)\mid2x^2-8x+8+y^2+2y-3=0\right\}[/math] o domínio das transformações.

Questão 2(a)

Qual é a imagem por uma rotação, no sentindo anti-horário, de [math]\frac{\pi}{4}[/math]?

[math]I=\left\{\left(u,v\right)\mid\frac{3v^2}{2}+vu+\frac{3u^2}{2}-5v\sqrt{2}-3u\sqrt{2}+8=0\right\}[/math] [math]I=\left\{\left(u,v\right)\mid\frac{3u^2}{2}+3uv+\frac{3y^2}{2}-3u\sqrt{2}+5v\sqrt{2}+8=0\right\}[/math] [math]I=\left\{\left(u,v\right)\mid3u^2+4uv+3v^2-5u\sqrt{2}-3y\sqrt{2}+8=0\right\}[/math] [math]I=\left\{\left(u,v\right)\mid\frac{3u^2}{2}+uv+\frac{3v^2}{2}-5u\sqrt{2}-3y\sqrt{2}+8=0\right\}[/math]

Questão 2(b)

Qual a imagem de uma translação em relação ao vetor [math]\left(\frac{3}{2},-2\right)[/math]?

[math]I=\left\{\left(u,v\right)\mid2u^2-2u+v^2+6v+\frac{65}{2}=0\right\}[/math] [math]I=\left\{\left(u,v\right)\mid2u^2-2u+v^2+6v+\frac{65}{2}=0\right\}[/math] [math]I=\left\{\left(u,v\right)\mid2u^2-14u+v^2+6v+\frac{65}{4}=0\right\}[/math] [math]I=\left\{\left(u,v\right)\mid2u^2-14u+v^2+6v+\frac{65}{2}=0\right\}[/math]

Questão 2(c)

Qual é a imagem por uma rotação no sentido horário de [math]135°[/math]?

Exercício 3

Seja [math]R=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\mid2\le x\le5,\quad-5\le y\le-2\right\}[/math], [math]I=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\mid-7\le x\le0,\quad4\le y\le10\right\}[/math] e[math]E=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\mid9x^2-54x+4y^2+16y+61=0\right\}[/math].[br]

questão 3(a)

Qual das seguinte transformações leva [math]R[/math] em [math]I[/math]?

Translação em relação ao vetor (2,2) e uma homotetia de razão 2. Reflexão no eixo y, reflexão no eixo x, translação em relação ao vetor (2,0) e expansão de razão 2 em relação ao eixo y. Reflexão no eixo y, reflexão no eixo x, translação em relação ao vetor (-2,0) e expansão de razão 2 em relação ao eixo x. Reflexão sobre o eixo y, reflexão sobre o eixo x, translação em relação ao vetor (-2,0) e expansão de razão 2 em relação ao eixo y.

Questão 3(b)

Qual das seguintes transformações leva [math]E[/math] no conjunto [math]E_t=\left\{\left(x,y\right)\mid\frac{27x^2}{4}+\frac{9xy\sqrt{3}-4xy\sqrt{2}}{2}+\frac{9y^2}{4}+x^2+3y^2-36=0\right\}[/math]?

Uma rotação de [math]30°[/math] no sentido anti-horário Uma translação em relação ao vetor [math]\left(\frac{3}{2},4\right)[/math] Uma rotação de [math]45°[/math] no sentido horário Uma expansão sobre o eixo x de razão [math]\frac{3}{2}[/math] e uma contração sobre o eixo y de razão [math]2[/math].

Questão 3(c)

Seja [math]T[/math] o triângulo que tem como vértice os pontos [math]\left(\frac{3}{2},2\right)[/math], [math]\left(2,1\right)[/math] e [math]\left(1,1\right)[/math] ; e seja o triângulo [math]I[/math], que tem como vértices os pontos [math]\left(-2,1.5\right)[/math], [math]\left(-1,2\right)[/math] e [math]\left(-1,1\right)[/math] . Qual é ou são as transformações que tem como domínio o triângulo [math]T[/math] e tem como imagem o triângulo [math]I[/math]?

Rotação de [math]270°[/math] no sentido horário Translação do vetor [math]\left(-2,0\right)[/math] e rotação de [math]180°[/math] no sentido horário Rotação de [math]180°[/math] no sentido anti-horário Rotação de [math]90°[/math] no sentido anti-horário