A comienzos del año 2016 nació FotoGebra ([url=https://www.fotogebra.org/]https://www.fotogebra.org/[/url]), un proyecto que fusiona la fotografía, la matemática y la tecnología con el objetivo de acercar el pensamiento matemático a los estudiantes de manera creativa y significativa. FotoGebra no nació como un proyecto aislado, sino como la evolución de una práctica docente que comenzó en 1991, cuando la profesora Karina Rizzo, uno de los autores de esta comunicación breve, comenzó a trabajar con sus estudiantes la relación entre matemática e imágenes, para fomentar el pensamiento matemático a partir de la observación del entorno. La iniciativa surgió de la necesidad de encontrar nuevas formas de enseñar y aprender matemática, partiendo de situaciones reales y promoviendo la exploración visual y la modelización matemática, en un contexto educativo que hoy calificaríamos como STEAM por su enfoque interdisciplinario, ya que permite establecer conexiones entre la matemática y otras áreas como el arte, la arquitectura, la física y la ingeniería.     [br][br] Durante años, esta experiencia se desarrolló dentro del aula, integrando herramientas tecnológicas a medida que evolucionaban. Finalmente, en 2016, FotoGebra trascendió al aula y se convirtió en un concurso abierto a todo público, permitiendo que estudiantes, docentes y entusiastas de la matemática y la fotografía de distintos países concursaran y compartieran sus creaciones, invitando a los participantes a capturar imágenes del entorno, formular una situación problemática basada en la imagen, modelizarla con el programa gratuito de Geometría Dinámica GeoGebra ([url=https://geogebra.org/]https://geogebra.org[/url]) y resolverla, integrando el análisis de los aspectos matemáticos de dicha imagen con la creatividad y la observación del mundo que nos rodea (Rizzo, 2016, 2021, 2023). [br][br][br]Mas información en: [url=https://www.geogebra.org/m/dupdmbtw]https://www.geogebra.org/m/dupdmbtw[/url]

Más recientemente, el desarrollo de herramientas de razonamiento automático en GeoGebra ha dado lugar a la versión GeoGebra Discovery, disponible gratuitamente para distintos dispositivos y sistemas operativos, on y offline, accesible en [url=https://github.com/kovzol/geogebra/releases]https://github.com/kovzol/geogebra/releases[/url] Véanse las referencias Kovács et al. (2022),  Kovács et al. (2024), Recio et al. (2020), o el libro GeoGebra https://www.geogebra.org/m/cwwx3ask , para una introducción detallada a tales herramientas.[br][br]     De manera muy resumida podemos decir que las mismas permiten encontrar automáticamente, dados ciertos objetos geométricos [i]h, i [/i]en una construcción realizada sobre GeoGebra Discovery   (por ejemplo, en la pantalla de un teléfono inteligente) y usando el comando [i]Relación(h,i),[/i] propiedades de los mismos que sean matemáticamente ciertas con toda generalidad (Boutry et. al. 2019). Por otra parte, GeoGebra Discovery también proporciona herramientas para corroborar o denegar, dada una propiedad [i]P [/i]enunciada por el usuario sobre ciertos objetos geométricos, usando los comandos [i]Demuestra(P[/i]) o [i]DemuestraDetalles( P ),[/i]  si dicha propiedad se verifica o no, de nuevo, con toda generalidad, no sólo para algunas posiciones.[br]  [br]En resumen: [i]Relación( , )[/i] descubre automáticamente tesis válidas en una construcción, involucrando ciertos objetos, mientras que [i]Demuestra( )[/i] y [i]DemuestraDetalles( )[/i] verifica la corrección de tesis formuladas, en el mismo contexto, pero por el usuario. Existe también la posibilidad de usar la herramienta [i]Descubrir(P)[/i] (que da nombre a Discovery), aplicada a un punto, que da todos los teoremas que satisface ese punto en la construcción concreta, con posibilidades de abrirnos a nuevo conocimiento.  

[i]Figura 1[/i]: Izda: Relación obtenida por GeoGebra Discovery, versión [url=https://autgeo.online/]https://autgeo.online[/url], desde un móvil, expresando la desigualdad existente entre el perímetro (i+g+h) y el área (i*k/2) de un triángulo. [br] Dcha: GeoGebra Discovery, versión [url=https://autgeo.online/]https://autgeo.online[/url], desde un portátil, responde true al comando Demuestra(2hi=?=g[sup]2[/sup]), en un triángulo rectángulo isósceles ABD, siendo g la hipotenusa, h, i los catetos iguales. Fuente: autores.

Finalmente, el comando [i]EcuaciónLugar( expresión lógica, punto variable)[/i] proporciona automáticamente el dibujo y la ecuación del conjunto de posiciones del punto variable que tienen lugar si se impone en la construcción la restricción descrita en la expresión lógica. El resultado es, desde el punto de vista matemático, una aproximación numérica --dependiente de los valores de las coordenadas de los puntos libres de la construcción-- al lugar geométrico simbólico, por lo que no este resultado no puede usarse para formular luego sobre el mismo preguntas del tipo [i]Demuestra[/i] o [i]Relación[/i]. Pero, en todo caso, sirve para que el usuario pueda conjeturar ese lugar simbólico y, tras formular dicha conjetura, realizar una construcción rigurosa del mismo, sobre la que sí puede verificar la corrección o falsedad de la conjetura. [br][br] En la siguiente figura 2 se muestra un ejemplo de este protocolo. Arriba, se describe (en rojo) el lugar geométrico de los puntos [i]C[/i] tales que las rectas [i]AC[/i] y [i]BC [/i]son perpendiculares, tras introducir el comando [i]EcuaciónLugar(SonPerpendiculares(f,g), C)[/i]. Abajo, tras conjeturar que dicho lugar geométrico es un círculo de diámetro [i]AB[/i], se procede a su construcción a través del punto medio [i]D [/i]y del círculo de centro [i]D[/i] pasando por [i]A[/i], sobre el que su ubica un punto [i]E[/i], verificando, con el comando [i]Demuestra [/i]que las rectas [i]h=EA, i=EB[/i] son perpendiculares.[br][br]

Figura 2: Ejemplo de cálculo y verificación de lugar geométrico con GeoGebra Discovery

[b]Nombre en GeoGebra:[/b] [color=#9900ff][size=150][i]Ejemplo de lugar GGB Discovery[br][url=https://www.geogebra.org/m/ksf9hfr4]https://www.geogebra.org/m/ksf9hfr4[/url][/i][/size][/color][br]Para abrir en [url=http://autgeo.online/]autgeo.online[/url]: busque este nombre (no utilice el enlace de GeoGebra).

[color=#9900ff][size=150][size=200]Aviso importante sobre GeoGebra Discovery[/size][/size][/color][br][br]Las construcciones creadas con GeoGebra Discovery no funcionan correctamente en GeoGebra clásico, porque GeoGebra clásico no tiene implementados de la misma manera los comandos de GeoGebra Discovery.[br][br]Para utilizarlas, abra [url=https://autgeo.online/]autgeo.online[/url] y búsquelas por su nombre exacto .[br][br]En este libro, debajo de cada imagen se indica el nombre exacto de la construcción.[br]Por favor, vaya al Apéndice Técnico de este libro para más detalles.[br]

Nuestra contribución propone, como una herramienta tecnológica relevante para la divulgación matemática, la utilización de los comandos de razonamiento automático de GeoGebra Discovery en la formulación e interpretación de las propiedades geométricas de determinadas imágenes fotográficas captadas por los participantes en el concurso Fotogebra, o por el público en general a lo largo de un "paseo matemático". Argumentamos que la utilización de esta tecnología de inteligencia artificial simbólica (y exacta) anima al usuario a plantearse la búsqueda y el descubrimiento de propiedades geométricas y a indagar en el porqué de las mismas. [br][br] Por ejemplo, dada una imagen como la de la siguiente figura, el usuario puede realizar una construcción que se ajuste a una de las ventanas y preguntar, luego, a GeoGebra Discovery, por la relación entre los dos segmentos que forman el alto y el ancho de la ventana, obteniendo la razón raíz de dos entre ambos.

[b]Nombre en GeoGebra:[/b] [size=150][color=#9900ff]Instituto Balseiro Biblioteca 2. GGBDiscovery[br][/color][url=https://www.geogebra.org/m/fx8su5zs][color=#9900ff]https://www.geogebra.org/m/fx8su5zs[/color][/url][/size][br]Para abrir en autgeo.online: busque este nombre (no utilice el enlace de GeoGebra).

Otra opción interesante en un contexto de divulgación matemática (ver figura de abajo), consiste en conjeturar directamente dicha razón, y verificar la pertinencia de la misma tras la visualización del lugar geométrico correspondiente, sobre el que, a continuación, se puede tratar de construir rigurosamente, como en la figura de arriba. [br][br]

[b]Nombre en GeoGebra:[/b] [size=150][color=#9900ff][i]Instituto Balseiro Biblioteca 2 Lugar. GGBDiscovery[br][/i][/color][/size][url=https://www.geogebra.org/m/ggydhzr4][color=#9900ff]https://www.geogebra.org/m/ggydhzr4[/color][/url][br]Para abrir en autgeo.online: busque este nombre (no utilice el enlace de GeoGebra).

Argumentaremos en nuestra comunicación breve, con diversos ejemplos como estos, sobre imágenes de los edificios donde tendrá lugar el congreso UMA-RSME (ver siguiente capítulo), cómo el usuario se puede enriquecer con esa visión, una especie de realidad automáticamente aumentada que le motiva a plantearse la justificación de las propiedades que GeoGebra Discovery le presenta, dado que el programa no le da argumentos intuitivos que las justifiquen. [br] Diríamos que GeoGebra Discovery es un oráculo geómetra...por lo que no elimina, sino incrementa, la construcción de conocimiento geométrico en el usuario.

1) Razón entre los segmentos que configuran la puerta de la U.N. Comahue. Arriba, construcción. Abajo, ratio descubierta por GeoGebra Discovery. En la figura de abajo aparece el detalle de la construcción (ver Vista Gráfica, a la izda.)

[b]Nombre en GeoGebra:[/b] [color=#9900ff][i]U.N. Comahue. GGBDiscovery[br][url=https://www.geogebra.org/m/hhducwhx]https://www.geogebra.org/m/hhducwhx[/url][br][/i][/color][br]Para abrir en autgeo.online: busque este nombre (no utilice el enlace de GeoGebra).

2) Razón entre los dos lados del rectángulo que conforma el cartel del Instituto Balseiro.

[br][b]Nombre en GeoGebra:[/b] [size=150][color=#9900ff][i]Instituto Balseiro 0[br][/i][/color][/size][url=https://www.geogebra.org/m/vmktmscf][color=#9900ff]https://www.geogebra.org/m/vmktmscf[/color][/url][br]Para abrir en autgeo.online: busque este nombre (no utilice el enlace de GeoGebra).

3) Razón entre cateto corto e hipotenusa de la biblioteca del Instituto Balseiro.

[b]Nombre en GeoGebra:[/b] [i][color=#9900ff][size=150]Instituto Balseiro 1.[/size][/color][/i][i] [color=#9900ff]GGBDiscovery[/color][/i][i][br][url=https://www.geogebra.org/m/rkdrchkg][color=#9900ff][size=150]https://www.geogebra.org/m/rkdrchkg[/size][/color][/url][/i][br]Para abrir en autgeo.online: busque este nombre (no utilice el enlace de GeoGebra).

4) Desigualdad que conforma la razón entre cateto corto i y un segmento arbitrario l desde el extremo C hasta un punto genérico D' del cateto largo de la biblioteca del Instituto Balseiro.

[b]Nombre en GeoGebra:[/b] [size=150][color=#9900ff][i]Instituto Balseiro 1.[/i][/color][i][color=#9900ff] GGBDiscovery[/color][/i][color=#9900ff][i][br][url=https://www.geogebra.org/m/rkdrchkg]https://www.geogebra.org/m/rkdrchkg[/url][/i][/color][/size][br]Para abrir en autgeo.online: busque este nombre (no utilice el enlace de GeoGebra).

5)  Desigualdad que conforma la razón entre cateto largo k y la suma del cateto pequeño y un segmento arbitrario l desde el extremo C hasta un punto genérico D' del cateto largo de la biblioteca del Instituto Balseiro.

[b]Nombre en GeoGebra:[/b] [i][color=#9900ff][size=150]Instituto Balseiro 1.[/size][/color][/i][i][color=#9900ff] GGBDiscovery[/color][/i][i][color=#9900ff][size=150][br][url=https://www.geogebra.org/m/rkdrchkg]https://www.geogebra.org/m/rkdrchkg[/url][/size][/color][/i][br]Para abrir en autgeo.online: busque este nombre (no utilice el enlace de GeoGebra).

6)  Razón áurea en la ventana horizontal (a la izquierda) de la fachada de la biblioteca del Instituto Balseiro.[br][br]

[b]Nombre en GeoGebra:[/b] [size=150][color=#9900ff][i]Instituto Balseiro Biblioteca 2. GGBDiscovery[br][url=https://www.geogebra.org/m/fx8su5zs]https://www.geogebra.org/m/fx8su5zs[/url][/i][/color][/size][br]Para abrir en autgeo.online: busque este nombre (no utilice el enlace de GeoGebra).

7)Proporciones pantalla Instituto Balseiro

[b]Nombre en GeoGebra:[/b] [size=150][color=#9900ff][i]Instituto Balseiro Colación. GGBDiscovery[br][/i][/color][/size][url=https://www.geogebra.org/m/tsmmkype][color=#9900ff]https://www.geogebra.org/m/tsmmkype[/color][/url][br]Para abrir en autgeo.online: busque este nombre (no utilice el enlace de GeoGebra).

8) Proporciones cartel Instituto Balseiro

[b]Nombre en GeoGebra:[/b] [size=150][color=#9900ff][i]Instituto Balseiro Nieve. GGBDiscovery[br][url=https://www.geogebra.org/m/yahnnuee]https://www.geogebra.org/m/yahnnuee[/url][/i][/color][/size][br]Para abrir en autgeo.online: busque este nombre (no utilice el enlace de GeoGebra).

9) Razón raíz de dos en la ventana vertical (a la derecha) de la fachada de la biblioteca del Instituto Balseiro.

[b]Nombre en GeoGebra:[/b][color=#9900ff][size=150] [i]Instituto Balseiro Biblioteca 2. GGBDiscovery[br][url=https://www.geogebra.org/m/fx8su5zs]https://www.geogebra.org/m/fx8su5zs[/url][/i][/size][/color][br]Para abrir en autgeo.online: busque este nombre (no utilice el enlace de GeoGebra).

[b][color=#9900ff][size=150][size=200]Aviso importante sobre GeoGebra Discovery[/size][/size][/color][/b][br][br]Las construcciones creadas con [b]GeoGebra Discovery[/b] [b]no funcionan correctamente en GeoGebra clásico, [/b]porque GeoGebra clásico no tiene implementados de la misma manera los comandos de GeoGebra Discovery.[br][br]Para utilizarlas, abra [url=https://autgeo.online]autgeo.online[/url] y búsquelas por su [b]nombre exacto[/b] .[br][br]En este libro, debajo de cada imagen se indica el nombre exacto de la construcción.[br][br]Por favor, vaya al [b]Apéndice Técnico[/b] de este libro para más detalles.[br]

Uso correcto de las construcciones de GeoGebra Discovery[br]Las construcciones realizadas con [b]GeoGebra Discovery[/b] no se abren correctamente en GeoGebra clásico cuando se utilizan los enlaces. Para utilizarlas correctamente, siga una de estas opciones:[br][br][b]Opción A: Instalar GeoGebra Discovery[/b][list=1][*]Descargue [b]GeoGebra Discovery[/b] desde:[br][url=https://github.com/kovzol/geogebra/releases]https://github.com/kovzol/geogebra/releases[/url] e instálelo en su ordenador.[/*][*]Descargue la construcción en su ordenador y abra la construcción desde [b]GeoGebra Discovery.[/b][/*][/list][b]Opción B: Usar autgeo.online[/b][list=1][*]Acceda a: [url=https://autgeo.online]https://autgeo.online[/url][/*][*]Haga clic en [b]Open[/b] y busque la construcción:[list][*]en [b]GeoGebra[/b], si fue subida y es pública, usando su [b]nombre exacto (no un enlace)[/b], o[/*][*]en su [b]ordenador[/b], si la descargó previamente.[/*][/list][/*][*]Al abrirla desde [i][url=http://autgeo.online/]autgeo.online[/url][/i], la construcción funcionará bien en GeoGebra Discovery.[br][/*][br][/list][br]

Boutry P., Braun, G., & Narboux J. (2019). Formalization of the arithmetization of Euclidean plane geometry and applications. Journal of Symbolic Computation, Volume 90, 2019, pp. 149-168, [url=https://doi.org/10.1016/j.jsc.2018.04.007]https://doi.org/10.1016/j.jsc.2018.04.007[/url]  [br][br]Kovács, Z., Recio, T., & Vélez, M.P. (2022). Automated Reasoning Tools with GeoGebra: What are they? What are they good for? In Richard, P.R., Vélez, M.P., Van Vaerenbergh, S. (Eds.). Mathematics Education in the Age of Artificial Intelligence: How Artificial Intelligence can serve mathematical Series: Mathematics Education in the Digital Era, Springer, 2022, pp. 23-44. [url=https://doi.org/10.1007/978-3-030-86909-0_2]https://doi.org/10.1007/978-3-030-86909-0_2[/url]   [br][br]Kovács, Z., Recio, T., & Vélez, M.P. (2024). On automated completion of geometry statements and proofs with GeoGebra Discovery.Annals of Mathematics and Artificial Intelligence, 2024 [url=https://doi.org/10.1007/s10472-024-09964-4]https://doi.org/10.1007/s10472-024-09964-4[/url]   [url=https://rdcu.be/d411I] https://rdcu.be/d411I[/url] [br][br]Ordóñez García, K. I., Molina Ortiz, M. I., & Ordoñez García, J. E. (2022). Geogebra: una herramienta tecnológica para aprender matemáticas. RECIAMUC, 6(1), 182-192.[size=100][url=https://doi.org/10.26820/reciamuc/6.(1).enero.2022.182-192]https://doi.org/10.26820/reciamuc/6.(1).enero.2022.182-192[/url]  [/size][br][br]Recio, T., van Vaerenbergh, S. & Vélez, M.P. (2020). Herramientas de Razonamiento Automáticoen GeoGebra: qué son y para qué sirven. Unión, Revista Iberoamericana de Educación Matemática.Año XVI - Número 59. Agosto 2020, pp. 08-15. [url=https://revistaunion.org/index.php/UNION/article/view/202]https://revistaunion.org/index.php/UNION/article/view/202[br][br][/url]Rizzo, K. (2016). “Concurso Matemática, Fotografía y GeoGebra”. Congreso Latinoamericano de GeoGebra: Las TIC al servicio de la innovación educativa 2016. ITM- Campus Fraternidad. Medellín. Colombia. Del 30 de noviembre al 02 de diciembre de 2016 [br]https://www.ugc.edu.co/sede/bogota/documentos/investigaciones/panel/geogebra_2016.pdf [br][br]Rizzo, K. (2021). FotoGebra: un recurso educativo y creativo en tiempo de pandemia, en Revista académica, Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática (Universidad de Costa Rica). Número 20 (2021) https://revistas.ucr.ac.cr/index.php/cifem/article/view/48502 [br][br]Rizzo, K. (2023). FotoGebra: Uso de Fotografías y GeoGebra para Explorar las Matemáticas. En XI Día GeoGebra Iberoamericano – GeoGebra em Aula, 27 y 28 de octubre de 2023. Organizado por el Departamento de Matemática de la Facultad de Ciencias y Tecnologías de la Universidad de Coimbra, Portugal. http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/11dgi/XIDGI_LivroResumos.pdf [br]