[b][color=#ff0000][url=http://w3.romascuola.net/gspes/c/lo/5d.html]http://w3.romascuola.net/gspes/c/lo/5d.html[/url][/color][/b]

[color=#0000ff][b]le rotazioni intorno all'origine[/b][/color][list][*]La roto-omotetia [b]R[sub]w[/sub][/b] porta [b]1 in w[/b]. Nel caso accada che tale roto-omotetia porti [b]il coniugato di w (ossia w[/b]⁻)[b] in 1[/b], diciamo che [b]R[sub]w[/sub] è una [color=#0000ff][url=http://w3.romascuola.net/gspes/c/applet/rotazione_conj.html]rotazione[/url][/color][/b] (più correttamente: [i]una rotazione [b]intorno a 0[/b][/i]) e che w è un [b]numero complesso [color=#0000ff][url=http://w3.romascuola.net/gspes/c/applet/rotazione.html]unitario[/url][/color][/b].[br] [br][/*][*]l'insieme dei numeri complessi unitari si chiama [b]circonferenza unitaria[/b] (notazione: [b]U[/b]): [br]Sono elementi di U, ad esempio, 1, -1 , i, -i.[br] [/*][*]ogni numero complesso z ≠ 0 si può [color=#0000ff][url=http://w3.romascuola.net/gspes/c/lo/5d_modulo&versore.html]esprimere[/url][/color] [b]in modo unico[/b] come [color=#0000ff][url=http://w3.romascuola.net/gspes/c/applet/versore_e_modulo.html]prodotto[/url][/color] [b]z=r•u[/b] con [b]r > 0[/b] e con [b]u unitario[/b]: r è detto [b]modulo[/b] di z (notazione: [b]|z|[/b]) e u è detto [b]versore[/b] di z (notazione: [b]vers(z)[/b])   [br] [/*][*]la versione geometrica di quanto appena detto consiste nel fatto che ogni roto-omotetia è esprimibile come trasformazione [color=#0000ff][url=http://w3.romascuola.net/gspes/c/applet/rotazione_e_omotetia.html]composta di rotazione e omotetia[/url][/color]: [br][br]       [b]R[sub]w[/sub] = R[sub]|w|[/sub][img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]R[sub]vers(w)[/sub] = H[sub]|w|[/sub][img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]R[sub]vers(w)[/sub] = R[sub]vers(w)[/sub][img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]H[sub]|w|[/sub][/b][br] [/*][*]importanti conseguenze e formule:[br][br][list][*][b]numeri unitari[/b]: se [b]w=a+b•i[/b] (con a e b reali), la condizione [b]R[sub]w[/sub](w) = 1[/b] equivale a:   [b]w[/b][b]⁻•w = a[sup]2[/sup] + b[sup]2[/sup] = 1[/b] [/*][*][b]modulo[/b]: se [b]z=x+y•i[/b] (con x e y reali), si ha:   [b]|z|[sup]2[/sup] = z[/b][b]⁻•z = x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup][/b]. Si pone, per definizione: [b]|0|=0[/b][/*][*][b]versore[/b]: se z è un numero complesso non nullo, è [b]|z|>0[/b], e da [b]z=|z|•vers(z)[/b] si ricava: [b]vers(z)=(1/|z|)•z[/b]⁻[/*][*][b]chiusura moltiplicativa della circonferenza unitaria[/b]: se [b]u[/b] e [b]u'[/b] appartengono a [b]U[/b], allora [b]u•u'[/b] è in [b]U[/b]     ([i]infatti:   u·u' · (u·u') = (u · u') · (u · u') = u · u · u' · u' = 1 · 1 = 1[/i] )[/*][*][b]scomposizione del prodotto[/b]: [b]z•w = (|z|•|w|) • [ vers(z)•vers(w) ][/b][/*][*][b]modulo e versore del prodotto[/b]: le uguaglianze [b]z•w=|z•w|•vers(z•w)[/b] e [b]z•w=(|z|•|w|)[vers(z)•vers(w)][/b], alla luce dell'unicità dell'espressione di un numero complesso non nullo come prodotto di un numero positivo per uno unitario, comportano le uguaglianze: [b]|z•w| = |z|•|w|[/b]   e   [b]vers(z•w) = vers(z)•vers(w)[/b][/*][*][b]numeri unitari e coniugazione[/b]: per un numero [b]unitario[/b] u, la condizione [b]u[/b][b]⁻•u =1[/b] significa che [b]u[/b][b]⁻ = 1/u[/b][/*][*][b]rapporto di due numeri complessi[/b]: dati i numeri complessi w' e w≠0, l'equazione w'=z·w comporta, da una parte, che |w'|=|z|·|w|, e quindi [b]|z| = |w'|/|w|[/b], e da un'altra che vers(w')=vers(z)·vers(w), da cui segue [b]vers(z)=vers(w')/vers(w)[/b]. [br]Pertanto il rapporto  [b]w'/w[/b]  è definibile in modo unico ed è:   [b]z = w'/w = (|w'|/|w|)·vers(w')/vers(w)[/b][/*][*][b]inversione algebrica e coniugazione[/b]: se [b]z è non nullo[/b], il [b]reciproco di vers(z)[/b] è [b]vers(z)[/b]⁻ e il [b]reciproco di z = |z|•vers(z)[/b]   è  [b]1/z = (1/|z|) • vers(z)[/b]⁻.[/*][/list][br][/*][/list]