12. Stereometria

HankaG, Nov 28, 2020

Table of Contents

  1. Graniastosłupy
    1. Graniastosłupy
    2. Graniastosłup o podstawie n-kąta
    3. Graniastosłup i jego elementy
    4. Graniastosłup i jego elementy
    5. Szkicowanie prostopadłościanu
    6. Sześcian
    7. Siatka sześcianu
    8. Pole i objętość sześcianu
    9. Pole i objętość sześcianu
    10. Sześcian ze ściętymi narożnikami
    11. Prostopadłościan
    12. Prostopadłościan i jego elementy
    13. Siatka prostopadłościanu
    14. Siatka prostopadłościanu
    15. Pole i objętość prostopadłościanu
    16. Pole i objętość prostopadłościanu
    17. Graniastosłup prawidłowy trójkątny
    18. Pole i objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego
    19. Graniastosłupy prawidłowe
    20. Graniastosłup o podstawie trapezu
    21. Siatka graniastosłupa o podstawie trójkąta
    22. Siatka graniastosłupa o podstawie rombu
    23. Siatka graniastosłupa o podstawie rombu
    24. Siatka graniastosłupa o podstawie równoległoboku
    25. Siatka graniastosłupa o podstawie rombu
    26. Siatka graniastosłupa o podstawie trapezu prostokątnego
  2. Ostrosłupy
    1. Ostrosłupy
    2. Ostrosłup o podstawie n-kąta
    3. Ostrosłup i jego elementy
    4. Ostrosłup i jego elementy
    5. Szkicowanie ostrosłupa prawidłowego trójkątnego
    6. Szkicowanie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego
    7. Siatka ostrosłupa prawidłowego
    8. Czworościan foremny
    9. Czworościan foremny ze ściętymi narożnikami
    10. Ostrosłupy prawidłowe
    11. Ostrosłup o podstawie trójkąta równobocznego
    12. Ostrosłup o podstawie prostokąta
  3. Bryły obrotowe
    1. Kula
    2. Pole i objętość kuli
    3. Pole i objętość kuli
    4. Stożek
    5. Pole i objętość stożka
    6. Pole i objętość stożka
    7. Ścięty stożek
    8. Walec
    9. Pole i objętość walca
    10. Pole i objętość walca
    11. Objętość brył obrotowych - puzzle
  4. Bryła w bryle
    1. Czworościan foremny opisany na kuli
    2. Czworościan foremny wpisany w kulę
    3. Graniastosłup prawidłowy czworokątny wpisany w kulę
    4. Graniastosłup prawidłowy trójkątny opisany na kuli
    5. Graniastosłup prawidłowy trójkątny wpisany w kulę
    6. Kula opisana na stożku
    7. Kula opisana na walcu
    8. Kula wpisana w stożek
    9. Kula wpisana w sześcian styczna do trzech ścian i przechodząca przez środek sześcianu
    10. Kula wpisana w walec
    11. Ośmiościan wpisany w sześcian
    12. Prostopadłościan wpisany w walec
    13. Stożki złączone podstawami
    14. Sześcian opisany na kuli
    15. Sześcian opisany na kuli i sześcian wpisany w kulę
    16. Sześcian opisany na stożku
    17. Sześcian opisany na walcu
    18. Sześcian wpisany w kulę
    19. Sześcian wpisany w ostrosłup prawidłowy czworokątny
    20. Sześcian wpisany w półkulę
    21. Sześcian wpisany w stożek
    22. Sześcian wpisany w walec
    23. Walec opisany na kuli i walec wpisany w kulę
    24. Walec ze stożkami
  5. 3D
    1. Bębenek
    2. Bombka
    3. Bombka
    4. Bombka
    5. Kula
    6. Sfera
    7. Półkule
    8. Półkule
    9. Trzy kule w kuli
    10. Trzy kule w kuli
    11. Cztery kule w kuli
    12. Sześć kul w kuli
    13. Stożek
    14. Stożek
    15. Walec
    16. Walec
    17. Ścięty walec
    18. Trzy kule w walcu
    19. Cztery kule w walcu
    20. Trzy kule w walcu
    21. Powierzchnia z kwiatkiem
    22. Torus
    23. Wazon
    24. Wazon
    25. Wazon

1.

Graniastosłupy

  • 1. Graniastosłupy
  • 2. Graniastosłup o podstawie n-kąta
  • 3. Graniastosłup i jego elementy
  • 4. Graniastosłup i jego elementy
  • 5. Szkicowanie prostopadłościanu
  • 6. Sześcian
  • 7. Siatka sześcianu
  • 8. Pole i objętość sześcianu
  • 9. Pole i objętość sześcianu
  • 10. Sześcian ze ściętymi narożnikami
  • 11. Prostopadłościan
  • 12. Prostopadłościan i jego elementy
  • 13. Siatka prostopadłościanu
  • 14. Siatka prostopadłościanu
  • 15. Pole i objętość prostopadłościanu
  • 16. Pole i objętość prostopadłościanu
  • 17. Graniastosłup prawidłowy trójkątny
  • 18. Pole i objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego
  • 19. Graniastosłupy prawidłowe
  • 20. Graniastosłup o podstawie trapezu
  • 21. Siatka graniastosłupa o podstawie trójkąta
  • 22. Siatka graniastosłupa o podstawie rombu
  • 23. Siatka graniastosłupa o podstawie rombu
  • 24. Siatka graniastosłupa o podstawie równoległoboku
  • 25. Siatka graniastosłupa o podstawie rombu
  • 26. Siatka graniastosłupa o podstawie trapezu prostokątnego

1.1.

Graniastosłupy

[color=#38761D][b]Graniastosłupem [/b][/color]nazywamy wielościan, którego dwie ściany, zwane podstawami, są przystającymi [br]wielokątami leżącymi w płaszczyznach równoległych, a pozostałe ściany, zwane ścianami bocznymi, są równoległobokami, których wszystkie wierzchołki są jednocześnie wierzchołkami podstaw. [br]Graniastosłup, którego podstawa jest n-kątem, nazywa się graniastosłupem n-kątnym. [br][color=#38761D][b]Wysokość [/b][/color]graniastosłupa to odcinek zawarty w prostej prostopadłej do jego podstaw, którego końcami są punkty wspólne tej prostej z płaszczyznami zawierającymi podstawy graniastosłupa. [br][color=#38761D][b]Graniastosłup prosty[/b][/color] to graniastosłup, w którym krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw. [br]Długość wysokości graniastosłupa prostego jest równa długości jego krawędzi bocznej. [br][color=#38761D][b]Graniastosłup prawidłowy[/b][/color] to graniastosłup prosty, którego podstawy są wielokątami foremnymi. [br][br][u][b][color=#38761D]Wzory[/color][/b][/u][br][math]H[/math] - długość wysokości graniastosłupa[br][math]P_p[/math] - pole podstawy graniastosłupa[br][math]P_b[/math] - pole powierzchni bocznej (suma pól ścian bocznych)[br][math]P_c[/math] - pole powierzchni całkowitej graniastosłupa[br][math]V[/math] - objętość graniastosłupa[br][br]Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:[br][math]P_c=2P_p+P_b[/math][br]Objętość graniastosłupa:[br][math]V=P_pH[/math]
– HankaG

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

1.7.

–

1.8.

–

1.9.

–

1.10.

–

1.11.

–

1.12.

–

1.13.

–

1.14.

–

1.15.

–

1.16.

–

1.17.

–

1.18.

–

1.19.

–

1.20.

–

1.21.

–

1.22.

–

1.23.

–

1.24.

–

1.25.

–

1.26.

–

2.

Ostrosłupy

  • 1. Ostrosłupy
  • 2. Ostrosłup o podstawie n-kąta
  • 3. Ostrosłup i jego elementy
  • 4. Ostrosłup i jego elementy
  • 5. Szkicowanie ostrosłupa prawidłowego trójkątnego
  • 6. Szkicowanie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego
  • 7. Siatka ostrosłupa prawidłowego
  • 8. Czworościan foremny
  • 9. Czworościan foremny ze ściętymi narożnikami
  • 10. Ostrosłupy prawidłowe
  • 11. Ostrosłup o podstawie trójkąta równobocznego
  • 12. Ostrosłup o podstawie prostokąta

2.1.

Ostrosłupy

[color=#38761D][b]Ostrosłupem[/b][/color] nazywamy wielościan, którego jedna ściana, zwana podstawą, jest dowolnym wielokątem, a pozostałe ściany, nazywane ścianami bocznymi, są trójkątami o wspólnym wierzchołku S, który nazywamy wierzchołkiem ostrosłupa.[br]Ostrosłup, którego podstawa jest n-kątem, nazywa się ostrosłupem n-kątnym.[br][color=#38761D][b]Wysokością[/b][/color] ostrosłupa nazywamy odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa z jego rzutem prostokątnym na płaszczyzną podstawy (tzw. spodkiem wysokości).[br][color=#38761D][b]Czworościanem[/b][/color] nazywamy ostrosłup, którego podstawą jest trójkąt.[br]Odcinki łączące wierzchołki czworościanu ze środkami ciężkości przeciwległych im ścian przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest [color=#38761D][b]środkiem ciężkości czworościanu[/b][/color] i dzieli każdy z tych odcinków, licząc od wierzchołka, w stosunku 3:1.[br]Czworościan, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi nazywa się [color=#38761D][b]czworościanem foremnym[/b][/color].[br][color=#38761D][b]Ostrosłupem prawidłowym[/b][/color] nazywamy ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny i którego spodek wysokości pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na jego podstawie. Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego są przystającymi trójkątami równoramiennymi.[br][br][u][b][color=#38761D]Wzory[/color][/b][/u][br][br][math]h[/math] - długość wysokości ostrosłupa[br][math]P_p[/math] - pole podstawy ostrosłupa[br][math]P_b[/math] - pole powierzchni bocznej (suma pól ścian bocznych)[br][math]P_c[/math] - pole powierzchni całkowitej ostrosłupa[br][math]V[/math] - objętość ostrosłupa[br][br]Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:[br][math]P_c=P_p+P_b[/math][br][br]Objętość ostrosłupa:[br][math]V=\frac{1}{3}P_ph[/math]
– HankaG

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

2.6.

–

2.7.

–

2.8.

–

2.9.

–

2.10.

–

2.11.

–

2.12.

–

3.

Bryły obrotowe

  • 1. Kula
  • 2. Pole i objętość kuli
  • 3. Pole i objętość kuli
  • 4. Stożek
  • 5. Pole i objętość stożka
  • 6. Pole i objętość stożka
  • 7. Ścięty stożek
  • 8. Walec
  • 9. Pole i objętość walca
  • 10. Pole i objętość walca
  • 11. Objętość brył obrotowych - puzzle

3.1.

Kula

[justify][size=100][/size][size=100][color=#38761D][b]Kulą o środku O i promieniu r[/b][/color] nazywamy zbiór wszystkich punktów przestrzeni, których odległość od punktu O jest nie większa od r. [b][br][color=#38761D]Kula [/color][/b]jest bryłą obrotową powstałą przez obrót półkola dookoła prostej, w której zawarta jest średnica tego półkola. [b][br][color=#38761D]Cięciwa [/color][/b]kuli to odcinek o końcach na brzegu kuli. [b][br][color=#38761D]Średnica [/color][/b]kuli to cięciwa przechodząca przez środek kuli. Termin ten oznacza również długość tej cięciwy – równą podwojonej długości promienia kuli.[b][br][color=#38761D]Koło [/color][/b]wielkie kuli, to koło o promieniu tej kuli, o środku w jej środku. [br][br][color=#38761D][u][b]Wzory[/b][/u][/color][br]Pole powierzchni kuli o promieniu [math]r[/math]:[br][math]P=4\pi r^2[/math][br]Objętość kuli:[br][/size][math]V=\frac{4}{3}\pi r^3[/math][/justify]
Więcej apletów: [color=#0000ff][url=https://www.geogebra.org/m/fbh2q2zp#chapter/574258]Bryły obrotowe[/url][/color]
– HankaG

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

3.7.

–

3.8.

–

3.9.

–

3.10.

–

3.11.

–

4.

Bryła w bryle

  • 1. Czworościan foremny opisany na kuli
  • 2. Czworościan foremny wpisany w kulę
  • 3. Graniastosłup prawidłowy czworokątny wpisany w kulę
  • 4. Graniastosłup prawidłowy trójkątny opisany na kuli
  • 5. Graniastosłup prawidłowy trójkątny wpisany w kulę
  • 6. Kula opisana na stożku
  • 7. Kula opisana na walcu
  • 8. Kula wpisana w stożek
  • 9. Kula wpisana w sześcian styczna do trzech ścian i przechodząca przez środek sześcianu
  • 10. Kula wpisana w walec
  • 11. Ośmiościan wpisany w sześcian
  • 12. Prostopadłościan wpisany w walec
  • 13. Stożki złączone podstawami
  • 14. Sześcian opisany na kuli
  • 15. Sześcian opisany na kuli i sześcian wpisany w kulę
  • 16. Sześcian opisany na stożku
  • 17. Sześcian opisany na walcu
  • 18. Sześcian wpisany w kulę
  • 19. Sześcian wpisany w ostrosłup prawidłowy czworokątny
  • 20. Sześcian wpisany w półkulę
  • 21. Sześcian wpisany w stożek
  • 22. Sześcian wpisany w walec
  • 23. Walec opisany na kuli i walec wpisany w kulę
  • 24. Walec ze stożkami

4.1.

Czworościan foremny opisany na kuli

W pracy wykorzystano:[br]wektory bazowe przestrzeni - autor Daniel Mentrard [br]narzędzie Odcinek3D - autor Jerzy Mil.
– HankaG

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

4.6.

–

4.7.

–

4.8.

–

4.9.

–

4.10.

–

4.11.

–

4.12.

–

4.13.

–

4.14.

–

4.15.

–

4.16.

–

4.17.

–

4.18.

–

4.19.

–

4.20.

–

4.21.

–

4.22.

–

4.23.

–

4.24.

–

5.

3D

  • 1. Bębenek
  • 2. Bombka
  • 3. Bombka
  • 4. Bombka
  • 5. Kula
  • 6. Sfera
  • 7. Półkule
  • 8. Półkule
  • 9. Trzy kule w kuli
  • 10. Trzy kule w kuli
  • 11. Cztery kule w kuli
  • 12. Sześć kul w kuli
  • 13. Stożek
  • 14. Stożek
  • 15. Walec
  • 16. Walec
  • 17. Ścięty walec
  • 18. Trzy kule w walcu
  • 19. Cztery kule w walcu
  • 20. Trzy kule w walcu
  • 21. Powierzchnia z kwiatkiem
  • 22. Torus
  • 23. Wazon
  • 24. Wazon
  • 25. Wazon

5.1.

Bębenek

– HankaG

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

5.5.

–

5.6.

–

5.7.

–

5.8.

–

5.9.

–

5.10.

–

5.11.

–

5.12.

–

5.13.

–

5.14.

–

5.15.

–

5.16.

–

5.17.

–

5.18.

–

5.19.

–

5.20.

–

5.21.

–

5.22.

–

5.23.

–

5.24.

–

5.25.

–

Information