Nachfolgend soll gezeigt werden wie die Gleichung einer Tangente aufgestellt wird.[br][br]Sei [math]f[/math] eine reelle Funktion außerdem ist bereits bekannt, dass die Steigung der Tangente an der Stelle [math]x_0[/math] durch den Differentialquotienten [math]f'(x_0)[/math] gegeben ist.[br][br]Also gilt mit [math]k=f'(x_0)[/math] für die Tangente [math]t(x)=f'(x_0)\cdot x +d[/math][br][br][br]Aber wie groß ist der Achsenabschnitt [math]d[/math]?[br]Da der Punkt [math](x_{0}|f(x_0)[/math] auf der Tangente liegt (siehe oben), muss folgende Gleichung erfüllt sein: [math]t(x_0)=f(x_0) \; \Longleftrightarrow\; f'(x_0)\cdot x_{0}+d=f(x_0) \; \Longleftrightarrow\; d=f(x_0)-f'(x_0)\cdot x_{0}[/math][br][br]Daraus folgt für die Gleichung der Tangente:[br][math]t(x)=kx+d=f'(x_0)\cdot x +f(x_0)-f'(x_0)\cdot x_0=f'(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0)[/math][br][br][br][center][b]Formel Tangentengleichung: [/b] [math]t(x)=f'(x_0)\cdot (x-x_0)+f(x_0)[/math][/center][br][br][br][br][b]Beispiel:[/b] Sei f eine reelle Funktion mit [math]f(x)=0.5x^3-2[/math] [br]Ermittle eine Gleichung der Tangente von [math]f[/math] an der Stelle [math]x_0=2[/math][br][br]i) Differentialquotienten bestimmen (hier kann der Geogebra Befehl [i]Ableitung(Funktion)[/i] verwendet werden)[br][math]f'(x)=1.5x^2[/math][br][br]ii) In die Formel einsetzen: [math]t(x)=f'(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0)=1.5x_0^2\cdot(x-x_0)+0.5x_0^3-2=1.5\cdot2^2\cdot(x-2)+0.5\cdot2^3-2=6\cdot(x-2)+2[/math][br]also [math]t(x)=6\cdot (x-2)+2[/math][br][br][br]Nachfolgend soll die Rechnung mit Geogebra überprüft werden. [br]Zur Probe wird der Befehl [i]Tangente(x-Wert, Funktion)[/i] verwendet.

Gegeben sei die reelle Funktion f mit [math]f(x)=\frac{1}{4}x^2+3[/math][br][br]Beantworte die nachfolgenden Fragen, arbeite falls nötig in deinem Heft!

Gegeben sei die reelle Polynomfunktion mit [math]f(x)=x^{5}-5 x^{4}+5 x^{3}+5 x^{2}-6 x-1[/math][br][br]Verwende Geogebra um folgende Fragen zu beantworten:[br][list][*][math]f´(x)=? [/math][/*][*]Extrempunkte (Befehl [i]Extremum(Funktion)[/i])[/*][*]Tangente an der Stelle [math]x_0=1[/math][/*][*]Steigungswinkel der Funktion in [math]x_0=1[/math] (Winkel der Tangente und x-Achse)[/*][/list]