Zu 3 [i][b]Kreisen[/b][/i] in der Ebene gehören - stereographisch projiziert - auf der Kugel 3 [i][b]Kreise[/b][/i] als Schnitte der Kugel mit den zugehörigen Kreisebenen.[br][br]Die 3 Kreisebenen schneiden sich paarweise in 3 [color=#ff7700][b]Geraden[/b][/color], die sich in einem gemeinsamen [b][color=#00ff00]Punkt[/color][/b] [math]\mathbf{P_{abc}}[/math] schneiden.[br][br]Die 3 [b]Pole[/b] der Kreise auf der Kugel liegen auf einer [color=#00ffff][b]Ebene[/b][/color] [math]\mathbf{e_{abc}}[/math]. [br]Der [b][color=#00ff00]Punkt[/color][/b] [math]\mathbf{P_{abc}}[/math] und die [color=#00ffff][b]Ebene[/b][/color] [math]\mathbf{e_{abc}}[/math] liegen polar zueinander bezüglich der Kugel. [br][br]Zur [color=#00ffff][b]Ebene[/b][/color] [math]\mathbf{e_{abc}}[/math] gehört ein reeller oder imaginärer [color=#00ffff][b]Kreis[/b][/color], der [i][b]orthogonal [/b][/i]zu den 3 vorgegebenen Kreisen liegt.[br]Gehen die 3 Kreise durch einen gemeinsamen Punkt, so liegt der Schnittpunkt der 3 Kreisebenen auf der Kugel.[br][br]Das [b]Problem von Apollonius [/b]gliedert sich also auf in die folgenden 3 alternativen Aufgaben:[br][br][list][*][color=#0000ff][b]Hyperbolischer Fall[/b]:[/color] Man konstruiere zu 3 Kreisen, die orthogonal zu einem reellen (echten) Kreis liegen, alle berührenden Kreise. [br]Wählt man den orthogonalen Kreis als absoluten Kreis einer [b][color=#980000]hyperbolischen Ebene[/color][/b], so lautet die Aufgabe: [br]Konstruiere zu drei [color=#980000][b]GERADEN[/b][/color] der hyperbolischen Ebene alle Kreise, die die [color=#980000][b]GERADEN[/b][/color] berühren. [/*][br][*][color=#0000ff][b]Elliptischer Fall:[/b][/color] Man konstruiere zu 3 Kreisen, die orthogonal zu einem imaginären (echten) Kreis liegen, alle berührenden Kreise. [br]Wählt man die außerhalb der Kugel liegende Ebene der Kreispole als absolute Ebene einer [color=#9900ff][b]elliptischen Ebene[/b][/color], so lautet die Aufgabe:[br]Konstruiere zu 3 [color=#9900ff][b]GERADEN[/b][/color] der elliptischen Ebene alle Kreise, welche die [color=#9900ff][b]GERADEN[/b][/color] berühren.[/*][br][*][color=#0000ff][b]Euklidischer Fall[/b][/color]: Man konstruiere zu 3 Kreisen, die sich in einem gemeinsamen Punkt schneiden, alle berührenden Kreise.[br]Wählt man den gemeinsamen Schnittpunkt als [math]\infty[/math] für die stereographische Projektion auf eine [color=#38761D][b]euklidische[/b][/color] (oder besser äquiforme) [color=#38761D][b]Ebene[/b][/color], so lautet die Aufgabe:[br]Konstruiere zu 3 [color=#38761D][b]GERADEN[/b][/color] der euklidischen Ebene alle berührenden Kreise.[/*][/list][br][size=85][color=#980000][u][i][b]Sonderfälle:[/b][/i][/u][/color] Einer oder mehrere der vorgegebenen Kreise können [color=#00ff00][i][b]Punkt-Kreise[/b][/i][/color] sein (Radius 0![br]Für 3 Punkte ist der [color=#00ff00][i][b]Umkreis[/b][/i][/color] die Lösung des Apollonius' Problem.[br]Zu 2 Punkten und einem echten Kreis hat man die Berührkreise an einen Kreis durch 2 Punkte zu konstruieren.[br]Zu einem Punkt und 2 Kreisen sind die Berührkreise an 2 Kreise durch einen Punkt zu konstruieren.[br][br]Da der Pol eines Punktkreises mit dem Punkt zusammenfällt, ist keiner der Sonderfälle elliptisch![br][/size][br][b][color=#980000][size=85]Man vergleiche hierzu auch das geogebra-book [url=https://www.geogebra.org/m/ajzpzrbj]Möbius-Werkzeuge circle tools[/url].[/size][/color][/b][br][br][color=#ff7700][b][size=50][right]Diese Aktivität ist eine Seite des ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon]gebra-books [url=https://www.geogebra.org/m/sthupnav]APOLLONIOS circles & conics[/url] (November 2018)[/right][/size][/b][/color]