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点aだけポツンと正則をじゃましている点を孤立特異点というけれど、[br]テーラー展開での次数を負に拡張した、いわゆるローラン展開[br][br][b]f(z)=Σ[sub]-∞[/sub][sup]∞[/sup] bn(z-a)^n[br][/b][br]において、孤立特異点aを分類できるね。[br][br]nが負の部分をあつめて項を[b]主要部[/b]というけれど、[br][br]・主要部がないときは[b]aは除去できる[/b]。[br]もしf(a)が不正則になるなら、それを変えて取り除ける。全体の対する影響はない。[br]（例）[br] f(z) = sin z/zという関数は、 z=0で分母がゼロになるのでそのままでは不連続（不正則）です。[br]でも、分子をマクローリン展開して zで割ると、マイナス次の項は出ず1 - z[sup]2[/sup]/6 + .... となります。[br]この式に z=0を代入すると 1になりますね。[br][br]・主要部はあるけれどｎが有限のkならaは[b]k次の極[/b]だ。[br]z→aのとき経路にかかわらず、|f(z)|→∞。爆発する。[br][br]・主要部があり、nが無限項なら[b]aは真性の特異点[/b]だ。[br]f(z)=e[sup]1/z[/sup]のz=0がこれです。爆発するかどうかも不明なカオス的な世界ですね。[br]z→aのとき極限もなくf(z)→∞ですらない。ワイアストラスの定理から、aに収束する数列{zn}をうまくとれば、f(zn)→∞にもなり、任意のｃに対してf(zn)→ｃになる。[br][br]真性孤立特異点がない複素関数に「有理型（meromorphic）」とラベルを貼る。[br]だから、有理型関数は正則関数か極をもつことになる。[br][br][b][size=150]＜一致の定理＞[br][/size][/b][br] f,gを複素平面 の領域D における有理型関数とする .[br]D 内に集積点をもっ集合A において f(z) = g(z)ならば，D上で f(z) = g(z) である．[br]つまり、複素平面上のどんなに小さなエリアでも完全に一致しているなら[br]全域で全く同じ関数でなければならない。[br][br][b][size=150]＜偏角の定理＞[/size][/b][br]複素平面の領域D内の有理型関数ｆについて、[br]D内にある単閉Cの中の領域でのｆの零点数をN,極数をPとし、[br]C上には極も零点がないなら、[br][br][b][size=150] N-P＝1/2πi∫_C f'(z)/f(z)dz [br][/size][/b][br]これは偏角というより、巻き数の定理と言えるでしょう。[br]被積分関数のf'(z)/f(z)dz は、実はlog(f(z))の微分そのものです。[br]これをCに沿って一周積分するということは、zがCを一周する間に、[br]写された先の f(z)がw平面の原点のまわりを「何周ぐるぐる巻きしてるか」を数えています。[br]零点（吸い込み）で正に、極（湧き出し）が逆向きに回るので、[br]巻き数＝N-Pになるという巻き数の定理なのです。[br][br][b][size=150]＜部分分数展開＞[br][br][/size][/b]有理型関数ｆは、その任意の極aのまわりにローラン展開ができる。[br]これを[b]Pol[a,f][/b]とかくことしよう。[br]有理型関数のカンタンなタイプとして有理関数があるね。[br]ｆを有理関数としその相異なるN個の極をa1,...,aN とすると、zの多項式 P(z)が存在し、[br][br][b][size=150]f(z) = P(z) + Σ Pol(an,f)[br][/size][/b][br]が成り立つ[br][br]さらにN個の極の位数がすべて１で極[b]an[/b]の主要部Prince(an,f)=[b]γn/(z-an)[/b]で、[br]ｆがｚ＝０で正則なら、区分的に連続な微分可能な単閉Cnについて、[br]ｆはCnで正則であり、[br][br][b][color=#0000ff][size=150]ｆ(z)=f(0)+Σγn(1/(z-an)+1/an)[br][/size][/color][/b][br]と有理関数ｆを和分解できる。[br][br][b]（例）cotz=1/z+2zΣ[sub]n=1[/sub][sup]∞[/sup](1/(z[sup]2[/sup]-(nπ)[sup]2[/sup]))[br][/b]なぜ分解できるのでしょうか。[br]f(x)=cotz-1/zとおき、マクローリン展開すると、[br]f(x)=cotz-1/z=cosz/sinz-1/z=(zcosz-sinz)/z sinz=(-1/3z^3+....)/z sinz = (-z/3+...)/(sinz/z)[br]sinz/zは正関数（全域で正則）なので、f(0)=0とすることで、z=0でもf(z)は正則となる。[br]z→0のとき、分母のsinz/zは１に向かうので、分母の爆発が防げるわけですね。[br][br]z=nπ(nが整数Nに属する）で1次の極を持ち、留数はすべてγn＝１[br]上の和分解の定理を使うと、[br]f(z)=cotz-1/z＝f(0)+Σ１(1/(z-nπ)+1/nπ)+Σ１(1/(z-(-nπ))+1/(-nπ))[br]＝Σ１(1/(z-nπ)+1/(z+nπ))=Σ({(z+nπ)+(z-nπ)}/{(z-nπ)(z+nπ)})[br]=Σ(2z/(z^2-n^2π^2))[br]これより、cotz＝1/z＋2zΣ(1/(z^2-(nπ)^2))[br]

cotzの部分分数分解を利用してみよう[br]cotz=1/z+2zΣ[sub]n=1[/sub][sup]∞[/sup](1/(z[sup]2[/sup]-(nπ)[sup]2[/sup]))[br]ここで、ｚにπzを代入すると、[br]cotπz=1/πz+2πzΣ[sub]n=1[/sub][sup]∞[/sup](1/((πz)[sup]2[/sup]-(nπ)[sup]2[/sup]))=1/πz+2z/πΣ[sub]n=1[/sub][sup]∞[/sup](1/(z[sup]2[/sup]-n[sup]2[/sup]))[br]だから、zcotπz=z/πz+2zz/πΣ[sub]n=1[/sub][sup]∞[/sup](1/(z[sup]2[/sup]-n[sup]2[/sup]))=1/π+2z^2/πΣ[sub]n=1[/sub][sup]∞[/sup](1/(z[sup]2[/sup]-n[sup]2[/sup]))[br](zcotπz-1/π)/(2z^2/π)=(zcotπz-1/π)*(π/2z^2)=π/2z cotπz-1/2z^2=1/2z*(πcotπz-1/z)＝Σ[sub]n=1[/sub][sup]∞[/sup](1/(z[sup]2[/sup]-n[sup]2[/sup]))[br][br]そこで、f(z)=1/2z*(π cotπz-1/z)と定義すると、f(z)=Σ[sub]n=1[/sub][sup]∞[/sup](1/(z[sup]2[/sup]-n[sup]2[/sup]))と分解できることになるね。[br]cosz, sinzのマクローリン展開を使い、f(z)を原点ｚ＝０の近くで展開してみよう。[br]cosz=1-z^2/2!+z^4/4!-z^6/6!...[br]sinz=z-z^3/3!+z^5/5!-z^7/7!....[br]途中から、πz＝Pとおくと、P^2/z^2=π^2[br]f(z)=1/2z{πz(cosπz)/z (sinπz)-sinπz/(z sinπz)}[br]=1/2z^2{(P cosP- sinP)/sinP}[br]=1/2z^2 {[-(1/2!-1/3!)P^3+(1/4!-1/5!)P^5-(1/6!-1/7!)P^7+....]/[P-P^3/3!+P^5/5!-P^7/7!.....]}[br]=P^3/(2Pz^2) {[-(1/2!-1/3!)+(1/4!-1/5!)P^2-(1/6!-1/7!)P^4+....]/[1-P^2/3!+P^4/5!-P^6/7!.....]}[br]=P^2/(2z^2) {[-(1/2!-1/3!)+(1/4!-1/5!)P^2-(1/6!-1/7!)P^4+....]/[1-P^2/3!+P^4/5!-P^6/7!.....]}[br]=P^2/(2z^2) {[(-1/2!+1/3!)+(1/4!-1/5!)P^2+O(P^4)]/[1-P^2/3!+O(P^4)]}[br]=π^2/2 {[(-1/2!+1/3!)+(1/4!-1/5!)P^2+O(P^4)]＊[1＋P^2/3!+O(P^4)]}　後半は等比数列の和の公式から[br]=π^2/2 {[(-1/3)+(1/30)P^2+O(P^4)]＊[1＋P^2/6+O(P^4)]}[br]=π^2/2{-1/3+(1/30-1/3*6) P^2+O(P^4)}[br]=-π^2/6-π^4/90 z^2+O(z^4)[br][br]一方で、f(z)=Σ[sub]n=1[/sub][sup]∞[/sup](1/(z[sup]2[/sup]-n[sup]2[/sup]))をz＝０の近くで項別に微分すると、[br]f(0)=Σ[sub]n=1[/sub][sup]∞[/sup](1/(-n[sup]2[/sup]))=-Σ[sub]n=1[/sub][sup]∞[/sup](1/n[sup]2[/sup])[br]f''(0)=-2Σ[sub]n=1[/sub][sup]∞[/sup](1/n[sup]4[/sup]))[br]上式と係数比較してみよう。[br][br][b]Σ[/b][sub]n=1[/sub][sup]∞[/sup][b](1/n[/b][sup]2[/sup][b])＝π[/b][sup]2[/sup][b]/6[br]Σ[/b][sub]n=1[/sub][sup]∞[/sup][b](1/n[/b][sup]4[/sup][b])＝π[/b][sup]4[/sup][b]/90[br][/b][color=#9900ff][b][u][size=150]課題：ゼータ(2),ゼータ(4)がπ^2/6,π^4/90に近づくようすを視覚化しよう。[br][/size][/u][/b][/color][br]設定：表示する小数点以下の桁数を10にしましょう。[br]nをアニメーションにして増加にすると、どんどんゴールに近づくのがわかりますね。[br][br]n = slider(1,20,1)[br]Z2= sum(1/k^2,k,1,n)[br]Z4= sum(1/k^4,k,1,n)[br]G2=pi^2/6[br]G4=pi^4/90[br][br]dif2=G2-Z2[br]dif4=G4-Z4[br][br]ゼータ2のゴール値 \frac{π^2}{6}=G2\\に対して、差＝dif2\\ゼータ4のゴール値 \frac{π^4}{90}=G4\\に対して、差＝dif4