[i][color=#38761D]Hier wird noch einmal geübt, ein Lagrange-Polynom aufzustellen. Solltet ihr euch hierbei schon sicher fühlen, könnt ihr auch zur nächsten Aufgabe weitergehen.[/color][/i][br][br]Die Tyne-Bridge im Nordosten Englands ist eine sogenannte Bogenbrücke und verbindet die Ortschaften [i]Newcastle upon Tyne[/i] und [i]Gateshead[/i] miteinander. [br]Ihr Bogen kann näherungsweise durch ein Polynom zweiten Grades beschrieben werden.[br][br]Die Bogenhöhe beträgt 59 m, die Fußpunkte Q und R sind 162 m voneinander entfernt.[br][br][color=#1155Cc]Erstellt ein Interpolationspolynom, das die Punkte P, Q und R miteinander verbindet. Hierbei könnt ihr die untenstehenden Fragen zur Kontrolle und als Hilfestellung nutzen. Ihr habt die Wahl zwischen zwei Vorgehensweisen.[/color]
Welche beiden Punkte liegen auf der x-Achse?
Die Punkte Q(-81|0) und R(81|0).
Wie lautet ein Polynom, welches durch die beiden Punkte auf der x-Achse verläuft?
[math]f\left(x\right)=\left(x+81\right)\left(x-81\right)[/math]
Welchen Funktionswert hat das Polynom an der Stelle [math]x=0[/math]?
[math]f\left(0\right)=\left(0+81\right)\cdot\left(0-81\right)=-81^2=-6561[/math]
Welchen Funktionswert muss ein Polynom an der Stelle [math]x=0[/math] haben, damit es durch den Punkt P verläuft?
Der Punkt P hat die y-Koordinate [math]59[/math]. Der Funktionswert muss also [math]59[/math] betragen
Mit welchem Faktor muss [math]f[/math] also multipliziert werden?
[math]-\frac{59}{6561}[/math]
Wie lautet dann das Polynom, welches durch die Punkte P, Q und R geht?
[math]p\left(x\right)=-\frac{59}{6561}\cdot\left(x+81\right)\cdot\left(x-81\right)=-\frac{59}{6561}\cdot\left(x^2-6561\right)=-\frac{59}{6561}x^2+1\approx-0.009x^2+1[/math]
Wie kann das Lagrange-Polynom berechnet werden, welches durch den Punkt (0|1) geht und Q und R als Nullstellen hat?
[math]\ell_P^{\left(2\right)}\left(x\right)=\frac{\left(x-x_Q\right)\cdot\left(x-x_R\right)}{\left(x_P-x_Q\right)\cdot\left(x_P-x_R\right)}[/math]
Wie lautet das Lagrange-Polynom?
[math]\ell_P^{\left(2\right)}\left(x\right)=\frac{\left(x-x_Q\right)\cdot\left(x-x_R\right)}{\left(x_P-x_Q\right)\cdot\left(x_P-x_R\right)}=\frac{\left(x+81\right)\left(x-81\right)}{\left(0+81\right)\left(0-81\right)}=\frac{x^2-81^2}{-81^1}=-\frac{1}{81^2}x^2+1[/math]
Wie lautet dann das Polynom, welches durch die Punkte P, Q und R geht?
[math]p\left(x\right)=y_p\cdot\ell_P^{\left(2\right)}\left(x\right)=59\cdot\left(-\frac{1}{81^2}x^2+1\right)=-\frac{59}{81^2}x^2+59\approx-0,009x^2+59[/math]
[size=50][b]Quellen und Lizenzen:[br][/b]Bild mit Brücke:[br] Titel: [size=50]bridge-arch-reflection-landmark-waterway-arch-bridge-905291-pxhere.com[br][size=50] Urheber: NA[br] Lizenz: CC 0[br] Link zur Lizenz: [url=https://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/deed.de]https://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/deed.de[/url][br] Ursprungsort: [url=http://pxhere.com]pxhere.com[br][br][/url]Applet mit Bild:[br] Titel: NA[br] Urheber: Johannes Schlaf[br] [size=50][size=50][size=50]Lizenz: Geogebra-Lizenz[size=50]: [url=https://www.geogebra.org/license]https://www.geogebra.org/license[br][br][/url]Diese Aktivität unterliegt ebenfalls der Geogebra-Lizenz: [size=50][size=50][size=50][size=50][size=50][size=50][size=50][url=https://www.geogebra.org/license]https://www.geogebra.org/license[/url][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size]