[size=85]Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit den linearen Funktionen, die alle durch Funktionsgleichungen beschrieben werden können.[br][br]Es gibt folgende lineare gerade Funktionen:[br][br] - Hauptform[br] - Punkt-Steigungsform[br] - Zwei-Punkte-Form[br] - Berechnung im Koordinatensystem[br] [br] [br]In der App siehst du eine Funktion mit der Gleichung [math]y=m⋅x+c[/math] Mit dem Regler bei m kannst du die Steigung der Geraden verändern. [br] [br]Der Regler c ändert dir den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse, den sogenannten y-Achsenabschnitt c. Die blau gestrichelte Linie zeigt dir dabei an, wie weit der Schnittpunkt vom Nullpunkt der Achsen entfernt liegt.[br][/size]
[size=85]Wie du schon bemerkt hast, ist auch eine Tabelle dargestellt. Diese verändert ihre Werte sofort, sobald du die Regler bewegst. [br] [br]Die Punkte P1 und P2 sind absichtlich beweglich eingebettet. Verschiebe sie mal und beobachte, wie sich das Verhältnis ändert. Kleiner Hinweis: im Bruch werden die Verhältnisse immer als kleinstmöglicher ganzzahliger Bruch dargestellt.[br][/size]
[size=85]Wenn du parallele bzw. senkrechte Geraden zu einer Funktionsgleichung wissen möchtest, dann gibt es da einfache Tricks.[br][br]parallele Gerade: jede Gerade, welche dieselbe Steigung hat wie die Gerade der ursprünglichen Funktion, ist parallel, sie unterscheiden sich nur im y-Achsenabschnitt.[br][br]senkrechte Gerade: jede Gerade, deren Steigung der negative Kehrwert der Geraden der ursprünglichen Funktion ist, verläuft senkrecht zu ihr.[br][br]Schau dir dazu einfach die Beispiele hier an.[/size]
[size=85]Der blaue Punkt kann bewegt werden. Durch die "Drehung am Ursprung" werden die Gerade, das Steigungsdreieck sowie die x- und y-Achse um 90° gedreht. Dadurch wird die Steigung der senkrechten Gerade ersichtlich.[/size]
[size=85]Die Hauptform der Funktionsgleichungen einer linearen Funktion lautet: [math]y=mx+b[/math] oder [math]f(x)=mx+b[/math][br][br]f(x) bedeutet: Funktion von x (damit wird errechnet, welcher y-Wert für ein beliebiges x vorliegt, daher ist f(x) und y gelichwertig zu betrachten)[br][br]m gibt die Steigung einer Geraden im Koordinatensystem an. Je größer m ist, desto steiler steigt oder fällt die Gerade. Ob eine Gerade fällt oder steigt, sieht man am Vorzeichen von m: + bedeutet steigen, - bedeutet fallen. m kann durch ein Steigungsdreieck bestimmt werden.[br][br]b gibt den so genannten y-Achsenabschnitt an, damit weiß man, an welcher Stelle die Gerade genau die y-Achse schneidet. Der x-Wert der Geraden ist an dieser Stelle immer gleich 0.[br][br]x0 ist die Stelle, an der die Gerade die x-Achse schneidet, der y-Wert ist dabei immer gleich 0.[br][/size]
[size=85]In der App siehst du eine Funktion mit der Gleichung [math]y=m⋅x+c[/math][br][br]Mit dem Regler bei m kannst du die Steigung der Geraden verändern.[br][br]Der Regler c ändert dir den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse, den sogenannten y-Achsenabschnitt c. Die blau gestrichelte Linie zeigt dir dabei an, wie weit der Schnittpunkt vom Nullpunkt der Achsen entfernt liegt.[/size]
[size=85]Wenn man die Steigung einer linearen Funktion direkt bestimmen möchte, wendet man am einfachsten die Punkt-Steigungs-Form an:[br][br][math]m=\frac{y−y_1}{\text{x−x_1}}[/math][br][br]Umgestellt nach y ergibt sich folgende Gleichung:[br][br][math]y=m(x−x_1)+y_1[/math][br][/size]
[size=85]Hier findest du die Formeln für die Zwei-Punkte-Form:[br][br][math]\frac{y−y_1}{x-x_1}=\frac{y_2−y_1}{x_2-x_1}[/math][br][br]bzw. [br][math]m=tan\alpha=\frac{y_2−y_1}{x_2-x_1}[/math][br][/size]
[size=85]Möchte man die Länge einer Strecke bestimmen, dann verwendet man diese Form:[br][br][br][math]P_1P_2=\sqrt{\left(x_2−x_1\right)^2+\left(y_2−y_1\right)^2}[/math][br][/size]
