[b][size=150]1.[/size][/b] Niech [math]f:[a,\infty)\to\mathbb{R}[/math] będzie funkcją całkowalną na każdym skończonym przedziale domkniętym [math]\left[a,T\right][/math]. Granicę [center][math]\lim_{T\to\infty}\int\limits_a^{T}\! f(x)\,dx[/math][/center]nazywamy [color=#cc0000]całką niewłaściwą funkcji [/color][math]f[/math][color=#cc0000] na przedziale [/color][math][a,\infty)[/math] i oznaczamy [math]\int_a^{\infty}\!\!\!f\left(x\right)\,dx[/math].[br]Jeżeli powyższa granica istnieje i jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa [math]\int_a^{\infty}\!\!\!f(x)\,dx[/math] jest [color=#cc0000]zbieżna[/color], natomiast jeżeli granica ta nie istnieje lub jest niewłaściwa, to mówimy, że całka [math]\int_a^{\infty}\!\!\!f\left(x\right)\,dx[/math] jest [color=#cc0000]rozbieżna[/color].

Obliczymy całkę niewłaściwą [math]\int_0^{\infty}\!\!\!e^{-x}\,dx[/math][br][br][u]Rozwiązanie:[/u][br][center][math]\int_0^{\infty}\!\!\!e^{-x}\,dx=\lim\limits_{T\to\infty}\int_0^{T}\!\!\!e^{-x}\,dx=\lim\limits_{T\to\infty}\big[-e^{-x}\big]\,\bigg|_{0}^{T}=\lim\limits_{T\to\infty}\big(-e^{-T}+e^{0}\big)=0+1=1[/math][/center][br]Poniższy aplet pokazuje jak zmienia się wartość całki wraz ze wzrostem wartości parametru [math]T[/math].

[b][size=150]2.[/size][/b] Niech [math]f:(-\infty,b]\to\mathbb{R}[/math] będzie funkcją całkowalną na każdym skończonym przedziale domkniętym [math]\left[T,b\right][/math]. Granicę [center][math]\lim_{T\to-\infty}\int\limits_{T}^{b}\! f(x)\,dx[/math][/center]nazywamy [color=#cc0000]całką niewłaściwą funkcji [/color][math]f[/math][color=#cc0000] na przedziale [/color][math](-\infty,b][/math] i oznaczamy [math]\int_{-\infty}^{b}\!\!\!f\left(x\right)\,dx[/math].[br]Jeżeli powyższa granica istnieje i jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa [math]\int_{-\infty}^{b}\!\!\!f\left(x\right)\,dx[/math] jest [color=#cc0000]zbieżna[/color], natomiast jeżeli granica ta nie istnieje lub jest niewłaściwa, to mówimy, że całka [math]\int_{-\infty}^{b}\!\!\!f\left(x\right)\,dx[/math] jest [color=#cc0000]rozbieżna[/color].

Obliczymy całkę niewłaściwą [math]\int\limits_{-\infty}^{1}\!\frac{1}{(x-2)^2}\,dx[/math].[br][br][u]Rozwiązanie:[/u][br][center][math]\int\limits_{-\infty}^{1}\!\frac{1}{(x-2)^2}\,dx=\lim\limits_{T\to-\infty}\int\limits_{T}^{1}\!\frac{1}{(x-2)^2}\,dx=\lim\limits_{T\to-\infty}\bigg[\frac{-1}{x-2}\bigg]\,\bigg|_{T}^{1}=\lim\limits_{T\to-\infty}\bigg(\frac{-1}{1-2}-\frac{-1}{T-2}\bigg)=1-0=1[/math][/center][br]Można zaobserwować (patrz aplet poniżej), że całka ta jest "wolniej zbieżna" niż całka z przykładu 1.

[b][size=150]3.[/size] [/b]Niech [math]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/math] będzie funkcją całkowalną na każdym skończonym przedziale domkniętym [math]\left[a,b\right][/math] i niech [math]c[/math] będzie dowolną liczbą. Jeżeli obie całki niewłaściwe [math]\int_{-\infty}^{c}\!\!f\left(x\right)\,dx[/math] oraz [math]\int_{c}^{\infty}\!\!f\left(x\right)\,dx[/math] istnieją i są zbieżne, to całkę [math]\int_{-\infty}^{\infty}\!\!f\left(x\right)\,dx=\int_{-\infty}^{c}\!\!f\left(x\right)\,dx+\int_{c}^{\infty}\!\!f\left(x\right)\,dx[/math] nazywamy [color=#cc0000]całką niewłaściwą na przedziale [math](-\infty,\infty)[/math][/color].