Si [b][math]F[/math][/b] es un campo vectorial, una[b] línea de flujo[/b] para [b][math]F[/math][/b] es un camino [b][math]c(t)[/math][/b] tal que[br] [math]c'\left(t\right)=F\left(c\left(t\right)\right)[/math]

[size=150][b]15.-[/b][math]c\left(t\right)=\left(e^{2t},log\left|t\right|,\frac{1}{t}\right),t\ne0;F\left(x,y,z\right)=\left(2x,z,-z^2\right)[/math][/size][br][br]Primero, calculemos el vector tangente a la curva c(t):[br][br] [math]c'\left(t\right)=\left(2e^{2t},\frac{1}{t},-\frac{1}{t^2}\right)[/math][br]Luego, calculamos [math]F\left(c\left(t\right)\right)[/math]:[br][br] [math]F\left(c\left(t\right)\right)=\left(2e^{2t},\frac{1}{t},-\frac{1}{t^2}\right)[/math][br][br]Por último, comprobemos si c'(t) = F(c(t)):[br][br] [math]c'\left(t\right)=F\left(c\left(t\right)\right)\Longrightarrow\left(2e^{2t},\frac{1}{t},-\frac{1}{t^2}\right)=\left(2e^{2t},\frac{1}{t},-\frac{1}{t^2}\right)[/math][br]Por lo tanto, podemos ver que son iguales, por lo que c(t) es una línea de flujo del campo vectorial F(x,y,z).

[size=150][b]17.-[/b][math]c\left(t\right)=\left(sint,cost,e^t\right);F\left(x,y,z\right)=\left(y,-x,z\right)[/math][br][br]Primero, calculemos el vector tangente a la curva c(t):[br] [br] [math]c'\left(t\right)=\left(cost,-sint,e^t\right)[/math][br] [br]Luego, calculamos F(c(t)):[br][br] [math]F\left(c\left(t\right)\right)=\left(cost,-sint,e^t\right)[/math][br] [br]Por último, comprobemos si c'(t) = F(c(t)):[br][br] [math]c'\left(t\right)=F\left(c\left(t\right)\right)\Longrightarrow\left(cost,-sint,e^t\right)=\left(cost,-sint,e^t\right)[/math] [br] [br]Por lo tanto, podemos ver que son iguales, por lo que c(t) es una línea de flujo del campo vectorial F(x,y,z).[/size]

[b][size=150]19.-[/size][/b]Sea [math]F\left(x,y,z\right)=\left(x^2,yx^2,z+zx\right)[/math] y [math]c\left(t\right)=\left(\frac{1}{1-t},0,\frac{e^t}{1-t}\right).[/math]Muestre que [math]c(t)[/math] es una línea de flujo para F.[br][br]Primero, calculemos el vector tangente a la curva c(t):[br][br] [math]c´\left(t\right)=\left(\frac{1}{\left(1-t\right)^2},0,\frac{-e^tt+2e^t}{\left(1-t\right)^2}\right)[/math] [br] [br]Luego, calculamos F(c(t)):[br][br] [math]F\left(c\left(t\right)\right)=\left(\left(\frac{1}{\left(1-t\right)}\right)^2,0,\frac{e^t}{1-t}+\left(\frac{e^t}{1-t}\right)\cdot\left(\frac{1}{1-t}\right)\right)[/math][br][br]Simplificamos:[br][br] [math]F\left(c\left(t\right)\right)=\left(\frac{1}{\left(1-t\right)^2},0,\frac{-e^tt+2e^t}{\left(1-t\right)^2}\right)[/math] [br] [br]Por último, comprobemos si c'(t) = F(c(t)):[br][br] [math]c'\left(t\right)=F\left(c'\left(t\right)\right)\Longrightarrow\left(\frac{1}{\left(1-t\right)^2},0,\frac{-e^tt+2e^t}{\left(1-t\right)^2}\right)=\left(\frac{1}{\left(1-t\right)^2},0,\frac{-e^tt+2e^t}{\left(1-t\right)^2}\right)[/math][br] [br]Por lo tanto, podemos ver que son iguales, por lo que c(t) es una línea de flujo del campo vectorial F(x,y,z).