[b][size=150][b][code][/code]このワークシートは[url=https://www.geogebra.org/m/twxxx3yq]Math by Code[/url]の一部です。[br][/b][/size][/b][br][br][br]前回、複素数ｚ＝x+y iに対して[br]指数関数[br][b][color=#0000ff][size=150]w=e[sup]z[/sup]=e[sup]x+yi[/sup]=e[sup]x[/sup]e[sup]yi[/sup]=R(cos(y) + i sin(y)) (R=e[sup]x[/sup]>0, y=arg w)[br][br][/size][/color][/b]対数関数[br][b][size=150]ｗ＝log(z)=u+vi= log|z| + i・ arg(z)　（arg zは2π未満）[br][/size][/b]とした。底がeであることがわかるように、logの代わりにlnとかこう。[br]また、ｚ＝a+bi は、c=|z|とかくと、極形式では、z=(c: θ)と規定できるね。[br]また、オイラーを見習って、多値関数のままarg z をθ±2kπとかくと、[br][b][size=150]ln(a+bi)= ln c + i(θ±2kπ)とかける。[br][/size][/b]iの対数は、i=0+1 i から、c=1となるので、ｚ＝(1,π/2)[br][b][size=150]ln(i)= ln 1 + i(π/2±2kπ)=[b][size=150]i(π/2±2kπ)[/size][/b]となるね。[br][/size][/b]

z=i[sup]i[/sup]としよう。[br]ln(i[sup]i[/sup]) = i ln i =i ・[b][size=150]i(π/2±2kπ)=-[b][size=150](π/2±2kπ)=pとかくと、[br][/size][/b][/size][/b]ただ単に、log[sub]e[/sub]z=lnz=p[br]対数関数を指数関数を使って再表現しよう。[br]z=e[sup]p[br][/sup]置き換えることで、気軽にもとに戻せたね。[br]次は、いよいよ、中身を使って再表現しよう。[br][color=#0000ff][size=200][b]z[br]=i[sup]i[br][/sup]＝e[sup]-(π/2±2kπ)[/sup][/b][/size][size=85][sup][br][/sup][/size][size=200][b]＝e[sup]-π/2[/sup]e[sup]∓2kπ[/sup][/b][br][/size][/color][br]前半部分は、[br][color=#0000ff][b]e[sup]-π/2[/sup][/b][br][size=200]= 1/√(e^π)＝0.20787958....(およそ[b]0.2[/b]）[br][/size]a=e[sup]2π[/sup][br][/color]後半部分は,[br]k=0なら、e^0=1[br]k=1で＋の場合、a[br]k=2で＋の場合、a^2[br].......[br]k=1でーの場合、1/a[br]k=2でーの場合、1/(a^2)[br][br]結局、[b][size=150][color=#0000ff]iのi乗は、a=e^2πとするとき、a[sup]±k[/sup]/sqrt(e^[b][size=150][color=#0000ff]π[/color][/size][/b])＝a[sup]±k[/sup]・0.20787958....　[br][br]という無数の実数[/color][/size][/b]である。[br]

[color=#9900ff][u][b][size=150]質問：i の i 乗を計算するにはどうしたらよいでしょうか。[br][/size][/b][/u][/color][br][b][size=150][color=#0000ff]iのi乗は、a=e^2πとするとき、a[sup]±k[/sup]/sqrt(e^pi)[br][/color][/size][/b]で求められます。[br]だから、[br]a=e^2pi[br]b=sqrt(e^pi)をもとめます。[br]指数idP={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}とリストを決める。[br]zipを使って、[br]zip(a^x/b, x, idx)[br]この値の集まりがiのi乗になるね。[br][br][color=#0000ff][b][size=150]虚数単位の虚数単位乗が実数になること、[br][br]それも無数の実数になることが面白すぎるね。[br][br][/size][/b][/color]指数が０のとき１/b=1/sqrt(e^pi)だけでもiのi乗は計算できる。[br][br]pythonの対話画面では、[br]>>> a=1/(2.71828**3.1415)**0.5[br]>>> a[br]0.20788942661779572[br]だけで、iのi乗のおよその数が求められるね。[br]