Untersucht man Quadrate, kann man eine Tabelle für den funktionalen Zusammenhang Seitenlänge - Flächeninhalt aufstellen: [br][table][tr][td]Seite[/td][td]1[/td][td]2[/td][td]3[/td][td]4[/td][td]5[/td][td]...[/td][/tr][tr][td]Fläche[/td][td]1[/td][td]4[/td][td]9[/td][td]16[/td][td]25[/td][td]...[/td][/tr][/table][br]Diese Tabelle kann man offensichtlich umkehren: [br][table][tr][td]Fläche[/td][td]1[/td][td]4[/td][td]9[/td][td]16[/td][td]25[/td][td]...[/td][/tr][tr][td]Seite[/td][td]1[/td][td]2[/td][td]3[/td][td]4[/td][td]5[/td][td]...[/td][/tr][/table][br]Geometrisch gehen wir im ersten Fall von der Seitenlänge eines Quadrats zum Flächeninhalt und im zweiten Fall vom Flächeninhalt eines Quadrats zur Seitenlänge. Aber was ist denn nun der Wert von [math]\sqrt{7}[/math] als Dezimalzahl? [br]Klar, das erhält man heute mit einem Taschenrechner. Wir wollen hier einmal hinter die Kulissen eines Taschenrechners schauen.[br]Es ist klar: [math]\sqrt{7}[/math] liegt sicher zwischen 2 und 3. Wir könnten alle einstelligen Dezimalzahlen zwischen 2.0 und 3.0 quadrieren und so den Wert auf eine Dezimalstelle ermitteln und das Verfahren dann eine Dezimalstelle weiter fortsetzen.[br]Das ist eine einfaches, aber mühsames und langsames Verfahren, in dem etappenweise immer eine Dezimalstelle dazu kommt. [br][br]Schon in der Antike hatte vor zweitausend Jahren der griechische Mathematiker und Ingenieur Heron von Alexandria die Idee, den Wert [i]schrittweise [/i]zu berechnen. Dies wird sogar heute noch in den Taschenrechnern und Computern genutzt. Seine Grundidee war geometrisch und numerisch: [br]Ein Rechteck mit dem Flächeninhalt a wird schrittweise ‚quadratischer‘ gemacht, wobei der Flächeninhalt erhalten bleibt. [br]Die Seitenlängen des Rechtecks schachteln den gesuchten Wert immer genauer ein. Dynamische Mathematik-Software wie GeoGebra ermöglicht es nun, Lernumgebungen zu erstellen, mit der dies für beliebige a einfach visualisiert werden kann und die Berechnungen im Hintergrund ablaufen. [br][br]Ein anderer, noch älterer Zugang nutzte den Höhensatz von Euklid aus. Dieser besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über der Höhe auf die Hypotenuse genauso groß ist wie das Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten. Dies können wir für unseren Zweck nutzbar machen, indem[br]wir unser Dreieck so aufbauen, dass ein Hypotenusenabschnitt die Länge a hat und der andere die Länge 1. [br]Denn dann muss das Rechteck den Flächeninhalt 1[math]\cdot[/math]a haben, das Höhenquadrat ebenfalls und die Länge der Höhe muss gleich [math]\sqrt{a}[/math] sein. Mit dynamischer Mathematik-Software können wir nun auch noch a im Zugmodus variieren und den Eckpunkt C eine Spur/ eine Ortslinie zeichnen lassen. So visualisieren wir neben der Berechnung eines konkreten Wertes auch einen funktionalen Zusammenhang.  [br][br]Im dritten Zugang betrachten wir nun quadratische Funktionen, die graphisch durch Verschiebungen der Einheitsparabel entstanden sind. Dem Umkehren der Wertetabelle entspricht graphisch das Spiegeln an der Hauptwinkelhalbierenden y = x. Dabei ist offensichtlich, dass man beim Spiegeln der gesamten Parabel keinen Funktionsgraphen mehr erhält. Man muss deshalb die quadratische Funktion einschränken auf den Bereich x [math]\ge[/math] x[sub]S[/sub].[br]Spiegelt man diese Teil-Parabel an y = x, so erhält man den Graphen der zugehörigen Wurzelfunktion. Den entsprechenden Funktionsterm ermittelt man dann aus der Scheitelpunktform der quadratischen Funktion.