Objeto de Aprendizagem - LEM2 - Bruno do Vale

Objeto de aprendizagem digital para o Ensino/Aprendizagem de Matemática (OA)

Disciplina de LEM2001[br][br][b]Indicação:[/b] 1° ano do Ensino Médio[br][br]

Motivação

O vídeo acima apresenta um exemplo de um caso particular lançamento de projétil (nesta situação, a bola): o [b]lançamento oblíquo[/b]![br][br]E é nosso desejo encontrar uma representação para sua trajetória, buscando nos conceitos matemáticos conhecidos informações pertinentes dela.[br][br]

Questão 01

Você consegue pensar em [b]exemplos do seu cotidiano em que você visualiza um lançamento oblíquo[/b]? Descreva-os no espaço abaixo.

Algumas hipóteses para simplificar as condições do movimento serão realizadas, com a intenção de torná-lo mais simples de modelar: em particular, não consideraremos a resistência do ar. Ou seja, uma vez lançado, somente a gravidade estará agindo sobre o corpo.[br][br]Além disso, dividiremos o movimento do projétil em sua componente horizontal e sua componente vertical. Ambas serão representadas por movimentos vistos anteriormente. Para ver se lembramos de suas formulações, fazemos um breve questionário a seguir![br][br]

Questão 02

Você consegue lembrar a [b]equação que rege a posição no movimento retilíneo uniforme[/b]? [br][br]Caso não recorde, utilize o gráfico abaixo da questão para guiá-lo. Lembre-se que, em um gráfico que relaciona a velocidade com o tempo, a área sobre a curva representa o deslocamento da partícula![br][br]

[math]s=vt[/math] [math]s=s_0+vt^2[/math] [code][/code] [math]s=s_0+vt[/math] [math]s=s_0+vt^2[/math] [math]s=s_0[/math]

Gráfico v x t do movimento retilíneo uniforme

Questão 03

Você consegue lembrar a [b]equação que rege a posição no movimento retilíneo uniformemente variado[/b]? [br][br]Caso não recorde, utilize o gráfico abaixo da questão para guiá-lo. Lembre-se que, em um gráfico que relaciona a velocidade com o tempo, a área sobre a curva representa o deslocamento da partícula![br][br]

[math]s=s_0+v_0t+at^2[/math] [math]s=s_0+at^2[/math] [math]s=s_0+v_0t[/math] [math]s=s_0+v_0t+\frac{at^2}{2}[/math] [math]s=s_0+v_0t^2[/math] [code][/code]

Gráfico v x t do movimento retilíneo uniformemente variado

Questão 04

Agora que relembramos as equações para cada um dos movimentos que utilizaremos, precisamos ver como decompor o vetor velocidade! [br][br]Conhecendo a magnitude do vetor velocidade e o ângulo que ele forma com o eixo horizontal, [b]quais as componentes horizontal (utilizaremos subíndice x) e vertical (utilizaremos subíndice y) da velocidade[/b]?[br][br]Novamente, faça usufruto do gráfico abaixo da questão para auxiliá-lo. Aproveite para brincar com os valores da velocidade e do ângulo! [br][br]

[math]v_x=\frac{v}{2}[/math] e [math]v_y=\frac{v}{2}[/math] [math]v_x=v\cdot cos\left(\theta\right)[/math] e [math]v_y=v\cdot sen\left(\theta\right)[/math] [math]v_x=\frac{v}{cos\left(\theta\right)}[/math] e [math]v_y=\frac{v}{sen\left(\theta\right)}[/math] [math]v_x=v[/math] e [math]v_y=v[/math][code][/code] [math]v_x=v\cdot sen\left(\theta\right)[/math] e [math]v_y=v\cdot cos\left(\theta\right)[/math]

Vetor Velocidade

Desenvolvimento da fórmula

Com estes conceitos revisados, passamos para a obtenção da fórmula que rege esse tipo de lançamento. Inicialmente, retoma-se a gravura apresentada no início dessa atividade, acrescentando os dados iniciais do exercício.[br][br]

Estabeleceremos [math]-90^\circ<\theta<90^\circ[/math] e [math]y_0\ge0[/math]. Caso escolha-se [math]\theta<0[/math], deve-se ter [math]y_0>0[/math].[br][br]No deslocamento horizontal, considera-se um movimento retilíneo uniforme (MRU) com velocidade [math]v_{0x}[/math] e [math]s_0=0[/math]. Chamando s de x, tem-se[br][br][math]x=v_{0x}\cdot t[/math][br][br]Isolando a variável tempo, encontra-se[br][br][math]t=\frac{x}{v_{0x}}[/math][br][br]No deslocamento vertical, assume-se um movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) com aceleração constante -g (negativa pois aponta para baixo), velocidade inicial [math]v_{0y}[/math] e posição inicial [math]s_0=y_0[/math]. Denotando s por y, obtém-se[br][br][math]y=y_0+v_{0y}\cdot t-\frac{g}{2}\cdot t^2[/math][br][br]Substituindo a expressão encontrada para t acima e usando as fórmulas da questão 04, podemos desenvolver a expressão até que assuma a forma[br][br][math]y=y_0+v_{0y}\cdot\left(\frac{x}{v_{0x}}\right)-\frac{g}{2}\cdot\left(\frac{x}{v_{0x}}\right)^2[/math][br][br][math]y=y_0+v_0sen\left(\theta\right)\cdot\left(\frac{x}{v_0cos\left(\theta\right)}\right)-\frac{g}{2}\cdot\left(\frac{x}{v_0cos\left(\theta\right)}\right)^2[/math][br][br][math]y=y_0+tg\left(\theta\right)\cdot x-\frac{g}{2v^2_0cos^2\left(\theta\right)}\cdot x^2[/math][br][br]Ou seja, tem-se uma parábola [math]y=ax^2+bx+c[/math], em que[br][br][math]a=-\frac{g}{2v^2_0cos^2\left(\theta\right)}[/math][br][br][math]b=tg\left(\theta\right)[/math][br][br][math]c=y_0[/math][br][br]Isto traz uma vantagem para nós, uma vez que há uma série de informações da parábola que agora podemos estender para o lançamento oblíquo!

Questão 05

[b]Quais informações do lançamento você conseguiria extrair da fórmula da parábola? [/b][br][br]Para auxiliá-los, vamos visualizar a fórmula obtida para a parábola no Geogebra logo abaixo. Altere os valores dos dados iniciais no gráfico abaixo e veja como esses afetam o lançamento! [br][br]Além disso, não se esqueça que 100 m/s = 360 km/h. Ou seja, já é um valor substancial! A velocidade do som, por exemplo, com uma temperatura de 20ºC, é de aproximadamente 343 m/s. De qualquer modo, seja criativo na escolha dos dados iniciais! =D[br][br][b]Obs.:[/b] As curiosidades são algumas das possíveis respostas para esta questão, mas não são as únicas!

Questão 06

No desenvolvimento do programa, decidimos por escolher como aceleração da gravidade o valor g=9,81 m/s^2, o que já é uma aproximação. Em seus exercícios, contudo, verão que é muito comum arredondá-la para 10 m/s^2. [br][br]Poderíamos nos perguntar: quais os efeitos disso nos resultados? E é por isso que deixamos a aceleração da gravidade em aberto![br][br]Escolha alguns valores para os dados iniciais e veja a altura máxima e o alcance máximo para os dois valores de gravidade. Indiquem na resposta tanto os valores escolhidos quanto os valores obtidos. [b]O que vocês acharam dos resultados? Acreditam que a diferença seja significativa?[/b][br][br]Brinquem um pouco mais. Pesquise o valor da gravidade na Lua, e veja como será a trajetória! [b]Vocês acham que as condições que estabelecemos pro movimento também se aplicariam lá? [/b][br][br]

Questão 07

Agora é com vocês! Com base no conteúdo exposto e no material à disposição nesta atividade, [b]c[/b][b]rie uma pergunta a respeito ou lance um questionamento/feedback[/b] que você acha pertinente de ser abordado.[br][br]

Habilidades da BNCC envolvidas

EM13MAT302 – Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.[br][br]EM13MAT503 – Investigar pontos de máximos ou de mínimos de funções quadráticas em contextos envolvendo superfícies, matemática financeira ou cinemática, entre outros.

Referências

MÁXIMO, Antônio; ALVARENGA, Beatriz. [b]Física: Ensino Médio [/b][b]– Volume 1[/b]. 1. ed. São Paulo: Scipione, 2009. 376 p.[br] [br]BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JÚNIOR, José Ruy; SOUSA, Paulo Roberto Câmara de. [b]Matemática Completa: 1º Ano[/b]. 4. ed. São Paulo: FTD, 2016. 272 p.[br][br]SOUZA, Cícero Jailton de Morais Souza[b]. Aula 1.9 - Lançamento de projéteis. [/b]Youtube, 16 ago. 2020. Disponível em: <https://youtu.be/7retxLlgii0>. Acesso em: 13 maio 2023.