Sección 1.3 - Puntos de interés (Ejercicios)

1. El circuncentro y el ortocentro de un triángulo obtuso yace fuera del triángulo

Asumamos que el ortocentro está dentro de [math]\text{Δ}ABC[/math]. Entonces, [br][br][math]\angle AOB<180^\circ[/math] (ya que es un ángulo dentro de un triángulo) [br][br]Esto implicaría que [math]\angle C<90^\circ[/math], lo que contradice que el triángulo sea obtuso. [br][br]Por lo tanto, está fuera del triángulo. Podemos observar esto en la siguiente figura.

Ahora, observemos la siguiente figura.

El ortocentro de [math]ABC[/math] es el circuncentro de [math]A'B'C'[/math][br][br][math]\text{Δ}ABC\sim\text{Δ}A'B'C'[/math] (obtusángulo). [br][br]Sabemos que el circuncentro está fuera de [math]A'B'C'[/math] y por tanto fuera de [math]ABC[/math].

2. Encuentre la razón entre el área de un triángulo y otro triángulo que tiene lados con mismas longitudes de las medianas del original.

Observemos la figura

Observemos a [math]\text{Δ}AGG'[/math]. Este triángulo es una versión "reducida" del triángulo de medianas (2/3). Por lo tanto, tenemos:[br][br][math]AG=\frac{2}{3}AD[/math][br][math]GG'=\frac{2}{3}BE[/math][br][math]G'A=GC=\frac{2}{3}CF[/math][br][br]Entonces, [math]\left(AGG'\right)=\frac{1}{3}\left(ABC\right)[/math] lo cual es igual a [math]\left(\frac{2}{3}\right)^2\left(\text{Δ}medianas\right)[/math][br][br][math]\frac{4}{9}=\frac{1}{3}\left(\frac{\text{Δ}ABC}{\text{Δ}medianas}\right)[/math][br][math]\frac{4}{3}=\frac{\text{Δ}ABC}{\text{Δ}medianas}[/math]

3. Cualquier triángulo que tenga dos medianas iguales es isósceles

Observemos la siguiente figura

Como las medianas se trisecan, tenemos que [math]\text{Δ}GDB\cong\text{Δ}GEC[/math] por LAL. Por lo tanto, [math]CE=BD[/math] y [math]AC=AB[/math] (por el Teorema de Thales)

4. Cualquier triángulo con dos alturas iguales es isósceles

Observemos la siguiente figura

Tenemos que [math]EC=AD[/math]. Además, [br][br][math]\angle CEB=\angle ADB=\angle CEA=\angle ADC=90^\circ[/math]. [br][br]Notemos que [math]\angle AFE=\angle DFC[/math] ya que son opuestos por el vértice. Entonces, [br][br][math]\text{Δ}AEF\sim\text{Δ}CFD[/math] por AA. Por lo tanto, [math]\angle BAD=\angle BCE[/math] y por tanto [math]\text{Δ}BEC\cong BDA[/math] (ALA) [math]\Longrightarrow BA=BC[/math]. Entonces el triángulo será isósceles.

5. Use los teoremas 1.22 y 1.33 para obtener una prueba del teorema 1.34

[b]Teorema 1.22:[/b] Si dos cevianas AX, BY, CZ satisfacen [math]\frac{BX}{XC}\frac{CY}{YA}\frac{AZ}{ZB}=1[/math] entonces son concurrentes. [br][b]Teorema 1.33[/b]: Cada bisector de ángulo de un triángulo divide al lado opuesto en segmentos proporcionales en longitud a los lados adyacentes.[br][br][b]Teorema 1.34[/b]: Los bisectores internos de tres ángulos de un triángulo son concurrentes.[br][br][br][b]Demostración[/b]: Observemos la siguiente figura

Por el Teorema 1.33, sabemos que [math]\frac{BL}{LC}=\frac{AB}{AC},\frac{CM}{MA}=\frac{BC}{BA}[/math] y [math]\frac{AN}{NB}=\frac{AC}{BC}[/math]. [br][br]Multiplicando estas proporciones, obtenemos:[br][br][math]\frac{BL}{LC}\cdot\frac{CM}{MA}\cdot\frac{AN}{NB}=\frac{\left(AB\right)\left(BC\right)\left(AC\right)}{\left(AC\right)\left(BA\right)\left(BC\right)}=1[/math][br][br]y por el Teorema 1.2, tenemos que AL, BM & CN son concurrentes.

6. Encuentre la longitud de la mediana AA' en términos de a,b,c. Pista: Utilice el Teorema de Stewart

Observemos la figura

Usando el Teorema de Stewart: [br][br][math]a\left(p^2+mn\right)=b^2m+c^2n[/math] donde [math]p=AA'[/math] y [math]m=n=\frac{a}{2}[/math], porque AA' es mediana.[br][br]Luego, [br][br][math]a\left[\left(AA'\right)^2+\left(\frac{a}{2}\right)\left(\frac{a}{2}\right)\right]=b^2\left(\frac{a}{2}\right)+c^2\left(\frac{a}{2}\right)[/math][br][br][math]\left(AA'\right)^2+\frac{a^2}{4}=\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}[/math][br][br][math]AA'=\sqrt{\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}-\frac{a^2}{4}}[/math]

7.

El cuadrado de la medida del bisector del ángulo AL es:[br][br][math]bc\left[1-\left(\frac{a}{b+c}\right)^2\right][/math].[br][br]

Usando el Teorema de Stewart, obtenemos: [br][br][math]c^2n+b^2m=a\left(mn+AL^2\right)[/math] (1)[br][br]Calculemos los valores de m y n en términos de los lados. Observamos en la figura que:[br][br][math]\frac{BL}{LC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}[/math] o [math]\frac{BL}{\left(BL+LC\right)}=\frac{c}{b+c}[/math] o [math]\frac{BL}{a}=\frac{c}{b+c}[/math] o [math]BL=\frac{ac}{b+c}=m[/math]. Similarmente, [math]LC=\frac{ab}{b+c}=n[/math].[br][br]Sustituyendo los valores de m y n en (1) obtenemos:[br][br][math]AL^2=bc\left[1-\left(\frac{a}{b+c}\right)^2\right][/math]

8. Encuentre la longitud del bisector interno de un triángulo rectángulo con lados 3, 4, y 5.

Utilizando la fórmula previa, tenemos:[br][br][math]AL=\sqrt{3\cdot4\left[1-\left(\frac{5}{3+4}\right)^2\right]}=\text{2.42436610[br]…}[/math][br]

9. El producto de 2 lados de un triángulo es igual al producto del circundiámetro y la altura en el tercer lado.

El circundiámetro está dado por:[br][br][math]D=\frac{abc}{2\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}=\frac{abc}{2\left(área\right)}[/math]

El área del triángulo es [math]A=\frac{1}{2}aP[/math] y [math]P=\frac{2A}{a}[/math]. Ahora, [math]P\cdot D=\frac{2A}{a}\cdot\frac{abc}{2A}=ab[/math] y [math]ab=PD[/math]