Da der Mittelpunkt des ersten Kreisteils im Punkt B liegt, erreicht man den Punkt, indem man zuerst zum Punkt A und dann von Punkt A zum Punkt B geht. Die entsprechende Linearkombination lautet:[br][math]\vec{OA}+\vec{AB}=\left(\begin{matrix}0\\1\\3\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}4\\-1\\-1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\\2\end{matrix}\right)=\begin{matrix}\vec{OB}\end{matrix}=\vec{OK}[/math]

Wenn man vom Punkt A aus ein Vielfaches des Vektors [math]\vec{AB}[/math] entlanggeht, bewegt man sich auf der Geraden, die durch die Punkte A und B geht. Mit der Geradengleichung g erhalten wir genau den Punkt A für s=0 und den Punkt B für s=1.[br][math]g:\vec{x}=\left(\begin{matrix}0\\1\\3\end{matrix}\right)+s\cdot\left(\begin{matrix}4\\-1\\-1\end{matrix}\right)[/math][br][br][br]Da die erste Linie auf dem Sonnensegel genau aus allen Punkten zwischen A und B besteht, erhalten wir einen Punkt dieser Linie, wenn wir für s einen Wert zwischen 0 und 1 in die Geradengleichung einsetzen. Für jeden solchen Wert für s erhalten wir eine Linearkombination, die den Ortsvektor eines Punktes auf der Linie darstellt.

Beginnt man bei Punkt A, so erreicht man die zweite Linie, indem man [math]\frac{1}{5}[/math] der Strecke [math]\overline{AB}[/math] entlanggeht, d. h. [math]\vec{OA}+\frac{1}{5}\cdot\vec{AB}=\left(\begin{matrix}0\\1\\3\end{matrix}\right)+\frac{1}{5}\cdot\left(\begin{matrix}4\\-1\\-1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}\\\frac{14}{5}\end{matrix}\right)[/math] ist der Ortsvektor des Punktes auf der zweiten Linie genau zwischen A und B.[br][br]Von dort aus geht man [math]\frac{4}{5}[/math] der Strecke [math]\overline{AC}[/math] zur Seite, um den Mittelpunkt des Kreisteiles zu erreichen, was dem Vektor [math]\frac{4}{5}\cdot\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)[/math] entspricht.[br]Insgesamt erhält man:[br][math]\vec{OA}+\frac{1}{5}\cdot\vec{AB}+\frac{4}{5}\cdot\vec{AC}=\left(\begin{matrix}0\\1\\3\end{matrix}\right)+\frac{1}{5}\cdot\left(\begin{matrix}4\\-1\\-1\end{matrix}\right)+\frac{4}{5}\cdot\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\\frac{16}{5}\\\frac{14}{5}\end{matrix}\right)[/math]

Man kann jeden Punkt auf dem Segel durch eine Aneinanderreihung der Vektoren [math]\vec{OA}[/math] und Vielfachen der Vektoren [math]\vec{AB}[/math] und [math]\vec{AC}[/math] erreichen. Dies funktioniert ähnlich, wie bei Aufgabe 3:[br][br]Man beginnt bei Punkt A (den man durch [math]\vec{OA}[/math] erreicht) und bewegt sich dann entlang des Vektors [math]\vec{AB}[/math], bis man sich "neben" seinem Zielpunkt befindet. Von dort aus geht man entlang des Vektors [math]\vec{AC}[/math], bis man den Zielpunkt erreicht.

Setzt man zum Beispiel [math]r=2[/math] und [math]s=0[/math], so liegt der Punkt auf der Geraden g, aber von Punkt A aus gesehen deutlich hinter dem Punkt B. Setzt man [math]r=1=s[/math], so liegt der Punkt "gegenüber" von Punkt A, gespiegelt an der Geraden durch die Punkte B und C.[br][br]Allerdings befinden sich beide Punkte auf der [b]Ebene[/b], in der auch das Dreieck liegt. Dies gilt für alle Punkte, die die Gleichung [math]\vec{x}=\vec{OA}+r\cdot\vec{AB}+s\cdot\vec{AC}[/math] erfüllen.

Jede Ebene lässt sich durch eine Gleichung der Form[br][math]E:\vec{x}=\vec{p}+r\cdot\vec{u}+s\cdot\vec{v}\left(s,r\in\mathbb{R}\right)[/math][br]beschreiben.[br]Das heißt, jeder Punkt der Ebene hat einen Ortsvektor [math]\vec{x}[/math], der die sogenannte [b]Parametergleichung [/b][math]\vec{x}=\vec{p}+r\cdot\vec{u}+s\cdot\vec{v}[/math] löst. Hierbei dürfen die Vektoren [math]\vec{u}[/math] und [math]\vec{v}[/math] [u]nicht kollinear [/u]und auch [u]nicht der Nullvektor [/u]sein. Der Vektor [math]\vec{p}[/math] heißt [b]Stützvektor [/b]und die Vektoren [math]\vec{u}[/math] und [math]\vec{v}[/math] [b]Spannvektoren[/b] der Ebene.

Genau wie beim zweiten Kreisteil, erreicht man die entsprechenden Linien der Kreisteile, in dem man vom Punkt A aus [math]\frac{3}{5},\frac{4}{5}[/math] und schließlich [math]\frac{5}{5}=1[/math] der Strecke [math]\overline{AB}[/math] entlanggeht. ([math]\frac{3}{5}[/math] der Strecke für den dritten Kreisteil, [math]\frac{4}{5}[/math] der Strecke für den vierten Kreisteil und die gesamte Strecke [math]\overline{AB}[/math] für den fünften Kreisteil.)[br]Von dort aus, muss man umgekehrt [math]\frac{2}{5},\frac{1}{5}[/math] und letztlich [math]\frac{0}{5}=0[/math] der Strecke [math]\overline{AC}[/math] entlanggehen um die Mittelpunkte zu erreichen, immer so, dass die Summe der Faktoren 1 ergibt.[br][br]Verallgemeinert erhält man:[br][math]\vec{OA}+r\cdot\vec{AB}+s\cdot\vec{AC}[/math], wobei zusätzlich [math]r+s=1[/math] gelten muss.[br][br](Beim ersten und letzten Kreisteil resultiert daraus wie zu erwarten [math]\vec{OA}+\vec{AB}=\vec{OB}[/math] bzw. [math]\vec{OA}+\vec{AC}=\vec{AC}[/math].)[br][br]Die verschiedenfarbigen Abschnitte des Segels erreicht man also, indem man dieselbe Gleichung benutzt, aber die Parameter r und s zusätzlich entsprechend einschränkt. Z. B. muss für den zweiten Bereich die Gleichung [math]\vec{OA}+r\cdot\vec{AB}+s\cdot\vec{AC}[/math] gelten und zusätzlich [math]\frac{1}{5}\le r\le\frac{2}{5}[/math] und [math]r+s=1[/math] sein. (Die Einschränkung von [math]s[/math] folgt aus diesen beiden Bedingungen, da [math]r+s=1\Leftrightarrow s=1-r[/math].)