[br][b]KATA PENGANTAR[/b][br][br]Puji syukur kehadirat tuhan yang maha[br]esa atas rahmat dan karunia-nya, sehingga GeoGebra Book interaktif tentang “[br]Dimensi Tiga dalam Matematika” ini dapat terselesaikan. Buku ini dirancang[br]sebagai salah satu sumber belajar yang diharapkan dapat mempermudah pemahaman[br]konsep-konsep dimensi tiga melalui visualisasi dinamis dan interaktif  degan bantuan perangkat lunak GeoGebra.[br][br]Penyusunan GeoGebra Book ini tidak lepas[br]dari dukungan dan bimbingan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan[br]kerendahan hati, kami mengucapkan terima kasih yang sebesar- besarnya kepada [b]Bapak Reza Kusuma[/b] , selaku dosen[br]pengampu mata kuliah Komputer Matematika yang telah memberikan[br]ilmu,arahan,motivasi,,dan inspirasi yang sangat berharga dalam proses[br]penyusunan materi ini. Bimbingan dan masukan beliau telah menjadi pilar utama[br]dalam terciptanya GeoGebra Book ini. Serta kepada teman- teman mahasiswa yang[br]telah memberikan dukungan, semangat,dan kolaborasi yang positif selama[br]pembuatan buku ini. Diskusi dan pertukaran ide dengan kalian telah memperkaya[br]perspektif dan kualitas yang disajikan.[br][br][br]Kami menyadari bahwa GeoGebra Book ini[br]masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, segala kritik dan saran yang[br]membangun dari para pengguna sangat kami harapkan demi penyempurnaan dimasa[br]yang akan datang . akhir kata, semoga GeoGebra Book ini dapat memberikan[br]manfaat yang signifikan bagi para pembelajar matematika,khusunya dalam memahami[br]konsep dimensi tiga secara lebih mendalam dan menyenangkan.[br][br][br]Madiun,9Mei 2025[br] Hormat Kami[br][br][br] COOLGEN Z[br][br][br] [br][br][br] [br][br][br] [br][br][br]

[br][br][b]PENDAHULUAN [/b][br][br]Selamat datang di dunia dimensi tiga, sebuah ranah geometri yang membawa[br]kita melampaui bidang datar dan memperkenalkan konsep ruang yang sesungguhnya.[br]Dalam bab ini, kita akan menjelajahi bentuk-bentuk solid yang mengelilingi kita[br]dalam kehidupan sehari-hari, mulai dari kubus yang familiar hingga piramida[br]yang megah, serta bola yang sempurna dan tabung yang praktis. Memahami dimensi[br]tiga bukan hanya sekadar mempelajari rumus dan teorema; ini adalah tentang[br]mengembangkan intuisi spasial, kemampuan kita untuk memvisualisasikan dan[br]memanipulasi objek dalam pikiran kita.[br][br][br]Mengapa topik ini begitu penting? Bayangkan[br]arsitek yang merancang bangunan ikonik, insinyur yang merancang jembatan yang[br]kokoh, atau bahkan seorang desainer grafis yang menciptakan visual 3D yang[br]memukau. Semua profesi ini, dan banyak lagi, sangat bergantung pada pemahaman[br]yang mendalam tentang prinsip-prinsip dimensi tiga. Lebih dari itu, kemampuan[br]untuk berpikir secara spasial terbukti meningkatkan keterampilan pemecahan[br]masalah dan penalaran logis kita secara umum. Dengan menguasai konsep-konsep[br]dalam bab ini, kita tidak hanya memperluas wawasan matematika kita, tetapi juga[br]membekali diri dengan alat berpikir yang berharga untuk menghadapi tantangan di[br]berbagai bidang.[br][br][br]Dalam perjalanan kita menjelajahi keajaiban[br]dimensi tiga ini, kita akan memanfaatkan kekuatan visual dan interaktif dari[br]perangkat lunak [b]GeoGebra[/b]. GeoGebra bukan hanya sekadar alat[br]bantu menggambar; ia adalah jembatan yang menghubungkan konsep abstrak dengan[br]representasi visual yang nyata. Melalui GeoGebra, siswa akan memiliki[br]kesempatan untuk:[br][br][br]1.[b]Memahami Definisi Dimensi Tiga pada Matematika[/b] [b]:[br][/b]definisi Titik,Garis, Bidang [br][br][br]2.[b]Menemukan pola dan hubungan:[/b] Melalui manipulasi interaktif,siswa[br]dapat menemukan  sendiri rumus dan[br]teorema, menjadikan pembelajaran lebih bermakna dan tidak sekadar menghafal.[br][br][br]3.[b]Memecahkan masalah secara visual:[/b] Menggunakan[br]GeoGebra untuk memodelkan soal-soal dimensi tiga dan menemukan solusi melalui[br]eksplorasi visual[br][br][br]Dengan perpaduan antara pemahaman konsep yang kuat dan pemanfaatan alat[br]bantu visual GeoGebra, bab ini diharapkan tidak hanya memberikan pengetahuan[br]tentang dimensi tiga, tetapi juga menumbuhkan kegembiraan dalam belajar[br]matematika dan mengembangkan keterampilan visualisasi spasial yang esensial.[br]Mari kita mulai petualangan kita dalam menjelajahi ruang tiga dimensi![br][br][br] [br][br][br] [br][br][br]

[br][br][b]PETUNJUK PENGGUNAAN GEOGEBRABOOK[/b][br][br][br][b]Panduan Penggunaan GeoGebra Book[br]untuk Bab Dimensi Tiga[/b][br][br][b]Navigasi dalam GeoGebra Book:[/b][br][br][br][list=1][br] [*][b]Membuka GeoGebra Book:[/b] Kamu akan menerima tautan (link) atau kode akses untuk[br] membuka GeoGebra Book ini. Klik tautan tersebut atau masukkan kode akses[br] jika diperlukan.[/*][br] [*][b]Bergerak Antar Halaman/Aktivitas:[/b] Gunakan tombol "Berikutnya" atau[br] "Sebelumnya" yang biasanya terletak di bagian bawah atau samping[br] layar untuk berpindah antar halaman atau aktivitas dalam satu topik. Kamu[br] juga bisa kembali ke daftar isi untuk memilih topik lain.[/*][br][/list][br][br][b]Berinteraksi dengan Objek 3D:[/b][br][br][br][list=1][br] [*][b]Memutar Objek:[/b][br] Hampir semua visualisasi 3D dapat kamu putar untuk melihatnya dari[br] berbagai sudut pandang. Klik dan seret (drag) mouse di area objek 3D. Kamu[br] akan melihat objek berputar sesuai dengan gerakan mouse-mu.[/*][br] [*][b]Menggeser Objek:[/b][br] Jika tampilan objek terlalu dekat atau jauh, kamu bisa menggesernya.[br] Biasanya, kamu perlu menekan tombol "Shift" sambil melakukan[br] drag mouse, atau mungkin ada ikon "Geser" yang perlu kamu[br] aktifkan terlebih dahulu (tergantung pada desain aktivitas).[/*][br] [*][b]Memperbesar dan Memperkecil (Zoom):[/b] Gunakan roda mouse (scroll wheel) untuk memperbesar[br] atau memperkecil tampilan objek. Jika tidak ada roda mouse, cari ikon[br] "+" dan "-" atau gunakan gerakan pinch-to-zoom pada[br] perangkat layar sentuh.[/*][br] [*][b]Menjawab Pertanyaan:[/b] Beberapa[br] aktivitas menyertakan pertanyaan-pertanyaan untuk menguji pemahamanmu.[br] Jawab pertanyaan tersebut berdasarkan pengamatan dan eksperimen yang telah[br] kamu lakukan.[/*][br][/list][br][br][b]Contoh[br]penggunaan dalam Bab Dimensi Tiga[/b][br][br][br] ·  [b]Jarak dalam[br]Ruang:[/b] Kamu dapat memvisualisasikan jarak antara titik dan garis, jarak[br]antara dua garis sejajar atau bersilangan, serta jarak antara titik dan bidang.[br]Kamu bisa memindahkan titik atau garis untuk melihat bagaimana jarak tersebut[br]berubah. [br][br][br]·  [b]Sudut Antara Garis dan Bidang:[/b] Kamu[br]dapat melihat dan mengukur sudut yang dibentuk oleh garis dan bidang dalam[br]ruang. Kamu bisa memutar objek untuk melihat sudut dari berbagai perspektif.[br][br][br]Dengan[br]menggunakan GeoGebra Book secara aktif dan mengikuti panduan ini, kamu akan[br]memiliki pengalaman belajar yang lebih interaktif dan visual dalam memahami bab[br]dimensi tiga. Selamat belajar![br][br][br]

[br][br][b]DIMENSI TIGA DALAM MATEMATIKA[/b][br][br][b] [/b][br][br][b] [/b][br][br][b]BAB 1: Konsep[br]Dasar Dimensi Tiga[/b][br][br][br][b]1.1 Mengenal Titik, Garis, dan Bidang[/b][br][br][br][br][b]Definisi Titik[/b][br][br]Dalam dimensi tiga, titik adalah[br][br]objek geometris yang tidak memiliki ukuran atau dimensi, hanya menunjukkan[br][br]posisi atau lokasi tertentu dalam ruang. Titik dapat direpresentasikan sebagai[br][br]noktah atau tanda kecil, dan diidentifikasi dengan huruf kapital. [br][br][br][br][b]Definisi Garis[/b][br][br]Garis adalah serangkaian titik yang[br][br]tidak memiliki lebar atau ketebalan. Garis terdiri dari dua titik ujung, dan[br][br]dapat diperpanjang ke arah yang tidak terbatas. Garis digunakan untuk[br][br]menggambarkan pergerakan atau arah, dan digunakan dalam pembuatan bentuk[br][br]geometris yang lebih kompleks.[br][br][br][br][b]Definisi Bidang[/b][br][br]Bidang adalah permukaan datar yang[br][br]didefinisikan oleh serangkaian garis yang tidak berpotongan. Bidang memiliki[br][br]dua dimensi dan dapat dilihat sebagai perluasan dari sebuah garis yang ditarik[br][br]ke arah yang tidak terbatas. Bidang digunakan untuk menggambarkan permukaan[br][br]datar seperti permukaan meja, dinding, atau lantai.[br][br][br][br][br][br]

[br] [b]1.2 MACAM MACAM BANGUN RUANG DIMENSI 3[br][/b][br]1. Bangun Ruang Kubus[br] Kubus adalah bangun ruang dengan enam sisi berbentuk persegi yang sama besar. [br][b]Rumus[/b]:  [list] [list] [*]Volume: [b]V = p x l x t[/b] [/*] [*]Luas Permukaan:[b] L = 2 × (pl + pt + lt) atau [b]6 x s²[/b] [/b][/*][/list][/list][br][list][b]Karakteristik[/b]: Semua rusuk sama panjang dan memiliki 12 rusuk, 6 sisi, serta 8 titik sudut. [b]Contoh benda berbentuk bangun ruang Kubus[/b]: Dadu, kotak tisu. [/list][br][br][br][br]

[br][br]2. Bangun Ruang Balok[br] Balok adalah bangun ruang yang terbentuK dengan enam sisi berbentuk persegi panjang. [br][b]Rumus[/b]:  [list] [list] [*]Volume: [b]V = p x l x t[/b] [/*]Luas Permukaan: [b]L = 2 x [(p x l) + (p x t) + (l x t)][/b]  [/list][b]Karakteristik[/b]: Memiliki rusuk yang berbeda panjang dan 8 titik sudut. [b]Contoh salah satu bangun ruang Balok[/b]: Kardus, kotak pensil. [/list][br]

[br][br]3. Bangun Ruang Prisma[br]Prisma adalah bangun ruang dengan alas dan atap berbentuk poligon yang sejajar dan kongruen. [br][b]Rumus[/b]:  [list] [list] [*]Volume: [b]V = ½ (5 x a x t) x tinggi prisma.[/b] [/*] [*]Luas Permukaan: [b]L = 2 x luas alas + (keliling alas x[br] tinggi prisma)[/b]. [/*] [/list][b]Jenis[/b]: Prisma segitiga, prisma segiempat, dll. [b]Contoh Prisma[/b]. [/list][br][br]

[br][br]4. Bangun Ruang Limas[br]Limas didefinisikan sebagai bangun ruang yang memiliki sisi - sisi tegak berbentuk segitiga dan alas berbentuk poligon.  [br][b]Rumus[/b]:  [list] Volume: [b]V = ⅓ × Luas Alas × Tinggi.[/b]  Luas Permukaan: L = [b]luas alas + luas sisi tegak[/b] [list] [/list][b]Contoh[/b]: Atap rumah berbentuk limas. [/list][br][br]

[br][br]5. Bangun Ruang Tabung[br]Tabung adalah bangun ruang dengan alas dan tutup berbentuk lingkaran yang sejajar. [br][b]Rumus[/b]:  [list] Volume: [b]V =[/b] [b]π x r2 x t[/b]. [list] [/list]Bangun tabung memiliki beberapa karakteristik utama yang membedakannya dari bangun ruang lainnya:[br][list=1][br][*]Memiliki Dua Bidang Dasar Berbentuk Lingkaran yang Kongruen dan Sejajar: Bagian atas dan bawah tabung berupa lingkaran yang identik dalam ukuran dan posisinya sejajar satu sama lain. Bidang dasar ini merupakan alas dan tutup tabung.[br][br][/*][*]Memiliki Satu Bidang Sisi Lengkung (Selimut Tabung): Sisi tegak tabung tidak berupa bidang datar, melainkan melengkung secara halus menghubungkan kedua bidang dasar lingkaran. Jika "dibentangkan", selimut tabung akan berbentuk persegi panjang.[br][br][/*][*]Tidak Memiliki Titik Sudut:[b] [/b]Karena bidang sisinya melengkung, tabung tidak memiliki titik-titik pertemuan sudut seperti pada bangun ruang polihedron (misalnya kubus atau balok).[br][br][/*][*]Memiliki Tinggi: Jarak tegak lurus antara kedua bidang dasar lingkaran disebut tinggi tabung.[br][br][/*][*]Memiliki Jari-jari: Setiap bidang dasar lingkaran memiliki jari-jari yang sama. Jari-jari ini adalah jarak dari titik pusat lingkaran ke tepi lingkaran.[br][/*][/list][/list][br][br]

[br][br]6. Bangun Ruang Kerucut[br][br]Kerucut merupakan bangun ruang tiga dimensi yang memiliki alas berbentuk lingkaran dan sisi melengkung yang meruncing pada satu titik. [br][b]Rumus[/b]:  [list] Volume:  [b]V = ⅓ × πr2 × t.[/b] Luas Permukaan:  [b]L = (π r s) + (π r²)[/b] berikut adalah ciri-ciri bangun kerucut:[br][list=1][br][*][b]Memiliki Satu Bidang Dasar Berbentuk Lingkaran:[/b] Bagian alas kerucut berupa lingkaran.[br][br][/*][*][b]Memiliki Satu Bidang Sisi Lengkung (Selimut Kerucut):[/b] Sisi tegak kerucut melengkung dan meruncing ke arah atas. Jika "dibentangkan", selimut kerucut akan berbentuk juring lingkaran.[br][br][/*][*][b]Memiliki Satu Titik Puncak:[/b] Bagian atas kerucut meruncing dan bertemu pada satu titik yang disebut titik puncak.[br][br][/*][*][b]Memiliki Tinggi:[/b] Jarak tegak lurus dari titik puncak ke pusat bidang dasar lingkaran disebut tinggi kerucut.[br][br][/*][*][b]Memiliki Jari-jari:[/b] Bidang dasar lingkaran memiliki jari-jari, yaitu jarak dari titik pusat lingkaran ke tepi lingkaran.[br][br][/*][*][b]Memiliki Garis Pelukis (Apotema):[/b] Garis lurus yang menghubungkan titik puncak dengan titik mana pun pada keliling lingkaran alas disebut garis pelukis atau apotema (dilambangkan dengan huruf 's'). Panjang garis pelukis dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras, yaitu s=r2+t2[img width=400em,height=1.08em]data:image/svg+xml;utf8,<svg xmlns=[/img][br][/*][/list]  [/list][br][br]

[br][br]7. Bangun Ruang Bola[br] Bola merupakan bangun ruang dengan semua titik permukaan berjarak sama dari pusat. [br][b]Rumus[/b]:  [list]Volume: [b]V = 4/3 x π x r3[/b] Luas Permukaan: [b]L = 4 x Luas Lingkaran (π x r²) atau S =4 x π x r²[br][/b]berikut adalah ciri-ciri utama bangun ruang bola:[list=1][br][*]Hanya Memiliki Satu Sisi Lengkung: Bola tidak memiliki bidang datar atau rusuk seperti bangun ruang lainnya. Seluruh permukaannya melengkung secara sempurna.[br][br][/*][br][*]Tidak Memiliki Titik Sudut: Karena permukaannya yang melengkung tanpa batas, bola tidak memiliki titik-titik pertemuan sudut.[br][br][/*][br][*]Memiliki Titik Pusat: Ada satu titik tertentu di tengah bola yang menjadi acuan jarak semua titik pada permukaannya.[br][br][/*][br][*] Jari-jari (r): Jarak dari titik pusat ke setiap titik pada permukaan bola selalu sama dan disebut jari-jari.[br][br][/*][br][*]Memiliki Diameter (d): Garis lurus yang melalui titik pusat dan menghubungkan dua titik di permukaan bola disebut diameter. Panjang diameter adalah dua kali panjang jari-jari (d=2r).[br][br][/*][br][*]Simetri Sempurna: Bola memiliki simetri yang sempurna. Jika diputar melalui titik pusatnya pada sudut berapapun, penampilannya tidak akan berubah. Bola juga memiliki bidang simetri tak hingga banyaknya.[b][br][/b][/*][/list][/list][br][br]

[b]1.3 JARAK BANGUN RUANG DIMENSI 3[br][br]1. Jarak antara Dua Titik [br][/b]dimensi tiga yang pertama yakni jarak antara dua titik. Pada materi dimensi tiga, jarak dua titik ini dapat dijelaskan sebagai panjang garisyang menghubungkan kedua titik tersebut.Dalam mencari jarak antara kedua titik yang panjangnya sudah diketahui, maka cara umum yang bisa digunakan adalah dengan mengaplikasikan rumus Pythagoras. Dengan demikian, rumusnya adalah sebagai berikut:[br][br] [math]\text{d(A,B)=\sqrt{_{ }} [br](x [br]_{2[br]​[br]_{ }} −x [br]_{1_{ }}[br]​[br] ) [br]^{2[br] }+(y_{ [br]2}[br]​[br] −y_{ [br]1}[br]​[br] ) [br]^{2[br]} +(z_{ [br]2[br]​[br]} −z [br]1[br]​[br] )^{ [br]2}[br] [br][br]​[br] [br][br]}[/math][br][b][br][br]2. Jarak antara Titik dan Garis[br][/b]Pada materi dimensi tiga, jaraksuatu titik dengan garis tertentu akan sama dengan jarak terdekat dari dua komponen tersebut. Untuk menentukan jarak terdekatnya yakni dengan mencari garis dari titik ke garis yang bentuknya adalah sudut siku-siku.Jadi, selain menggunakan rumus Pythagoras, jarak titik dan juga garis bisa diketahui dengan perbandingan luas dua segitiga.[br][list=1][*]menggunakan proyeksi vektor [/*][/list] [math]\text{d(T,l)= [br]∣ [br]v[br][br] ∣\frac{\parallel}{ }[br]∣ [br]PT[br][br] × [br]v[br][br] ∣\frac{ }{ }[br]​[br]}[/math][br] 2. menggunakan luas segitiga[br][math]\text{Luas= [br]\frac{2}{1}[br]​[br] ∣ [br]TA[br][br] × [br]TB[br][br] ∣}[/math][br][br][b]3. Jarak Titik ke Bidang[br][/b]Jarak titik ke bidang adalah panjang ruas garis yang tegak lurus atau terpendek dari titik tersebut ke bidang. Ruas garis ini disebut sebagai jarak tegak lurus atau jarak terdekat.[br][br][math]\text{d(T,bidang)= [br]\sqrt{ }A [br]2[br] +B [br]2[br] +C [br]2[br] [br][br]​[br] [br]∣\sqrt{ }Ax [br]1[br]​[br] +By [br]1[br]​[br] +Cz [br]1[br]​[br] +D∣[br]​[br] [br][br]}[/math][br][br][b]4. jarak antara Dua Bidang Sejajar[br][br]j[/b]ika dua bidang sejajar,jarak antara keduanya adalah jarak dari sembarang titik pada salah satu bidang ke bidang yang lain (karena jaraknya akan selalu sama).kita dapat menentukan jarak dengan memilih cara diatas yang paling tepat