Cette méthode géométrique permet d'approximer un nombre rationnel par une suite de rationnels

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et C[sub]f[/sub] sa courbe représentative. On admet que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution a dont on cherche à déterminer une approximation.[br]Soit u[sub]0[/sub] un point de I.[br]On trace la tangente à la courbe au point d'abscisse u[sub]0[/sub] qui a donc comme coordonnée (u[sub]0[/sub], f(u[sub]o[/sub]))

La tangente coupe l'axe des abscisses en u[sub]1[/sub].[br]L'équation de la tangente est : [math]y=f'\left(u_0\right)\left(x-u_0\right)+f\left(u_0\right)[/math][br]Le point de coordonnées (u[sub]1[/sub], 0) appartient à la tangente. Ses coordonnées vérifient l'équation de celle-ci :[br][math]0=f'\left(u_0\right)\ast\left(u_1-u_0\right)+f\left(u_0\right)[/math] soit [math]u_1=u_0-\frac{f\left(u_0\right)}{f'\left(u_0\right)}[/math]

On remonte alors sur la courbe à partir d'un point u[sub]1[/sub] puis on trace une 2eme tangente qui coupe l'axe des abscisses en u[sub]2[/sub].[br]Au final, on obtient la suite définie par : [math]u_{n+1}=u_n-\frac{f\left(u_n\right)}{f'\left(u_n\right)}[/math][br]La limite donnera la valeur cherchée de f(x)=0

En appliquant cette méthode à la fonction f(x) = x²-2, on obtient d'après l'expression ci-dessus :[br][math]u_{n+1}=u_n-\frac{u_n^2-2}{2u_n}=\frac{u_n-\frac{2}{u_n}}{2}[/math][br]On retombe sur la méthode de Héron pour déterminer une approximation de [math]\sqrt{2}[/math]

Méthode de Héron :[br]On démontre que la suite est décroissante à partir d'un certain rang (selon le 1er terme)[br]Puis que la suite est positive.[br]Etant décroissante et minorée, la suite converge vers une limite [math]l[/math] qui vérifie : [math]l=\frac{l+\frac{2}{l}}{2}[/math] soit [math]l=\sqrt{2}[/math]

On trouve une approximation à [math]10^{-2}[/math] de [math]\sqrt{2}[/math] en lisant sur le graphe : 1.41