[url=https://www.geogebra.org/m/yvhmvryt]Itt [/url]felvetettünk néhány kérdést a háromszög és a tetraéder kapcsolatáról. [br]Ezek közül most vegyük szemügyre egy háromszög magasságpontját.[br][br]Az alábbi appletben megrajzoltuk egy háromszög csúcsait, oldalegyeneseit, magasságegyeneseit és magasságpontját. [i]Melyik a háromszög, és melyik a magasságpont?[/i]

Ebben az appletben négy ugyanolyan "rangú" pontot látunk: bármelyiket magasságpontnak választva (a piros ponttal), a másik három lesz a háromszög három csúcsa.[br][br]Ezt a négy pont, egy un.[b] [i]ortocentrikus pontnégyes[/i][/b]t alkot. Bár olvasóink könnyen észreveszik, hogy melyek a szabad pontok és melyik a szerkesztett, ettől nem függ a négy pont egyenrangú szerepe. [br][br]Ilyen egyenrangú pontokból és egyenesekből álló konstrukcióval [url=https://www.geogebra.org/m/pX7a97q5#material/nrvbvefm]itt a második appletben[/url] is találkozhatunk, ahol hasonló módon kijelölhetünk egy pontot, amitől a többinek egyszeriben más-más lesz a szerepük.[br][br]Érdeklődőbb olvasóink töltsék le ezt a könnyen követhető ggb fájlt, ahol egyszerű példát láthatnak arra, milyen programozástechnikai fogás kellett ehhez e "kijelölés"-hez. [url=https://www.geogebra.org/m/pX7a97q5#material/mpfhgw4g]Erről itt olvashatunk kissé bővebben.[/url][br]

[url=https://www.geogebra.org/m/pX7a97q5#material/yvhmvryt]Mint már említettük[/url], a tetraéder [i]magasságegyenesein[/i] a csúcsokból a szemközti lap síkjára bocsátott merőleges egyeneseket, a [i]magasság talppontján[/i] a csúcsnak a szemközti lap síkjára eső merőleges vetületét, egy adott csúcshoz és a szemközti laphoz tartozó [i]magasságán [/i] a csúcs és a szemközti lap síkjának a távolságát érjük.[br]A tetraéder [i]magasságpontja[/i] a [u]négy[/u] magasságegyenes közös pontja. [br]Vajon van-e minden tetraédernek magasságpontja? [br][br]Az alábbi applet kezdő helyzetében megadott csúcsok olyan tetraédert alkotnak, amelynek [u]van[/u]. De mi történik, ha a csúcs mozgatásával, vagy a beviteli mezőkbe írt más adatokkal új tetraédert kapunk?[br][br]Például javasoljuk, hogy a [i]C [/i]pont koordinátáit változtassák rendre a [b][size=85](0,4,2); (2,4,2); (2,4,0); (0,4,-1)[/size][/b][code] értékekre.[/code][br]Vagy az [i]A,B,C[/i] pontokat kezdő helyzetben hagyva legyen most [size=85][b]D=(0,0,4) [/b]![/size] Mit tapasztalunk?

Miután meggyőződtek olvasóink arról, hogy a négy magasságegyenes nem minden esetben illeszkedik egy pontra. Lehet, hogy két-két magasságegyenes különböző pontban metszi egymás, vagy páronként kitérők. Tehát nem minden tetraédernek van magasságpontja! Sőt: a legtöbb esetben nincs.

Az alábbi appletben megadott tetraédernek [u]van[/u] magasságpontja. [br][br]Vajon itt is érvényes, hogy a konstrukció az öt pontja közül bármelyik magasságpontja a további négy által meghatározott tetraédernek?[br][br]Ebben az appletben csak a 3D-s képernyőt láthatjuk. Itt egyszerűbb (??) módszerrel, a ◀ és ▶ jelekkel választhatjuk ki, hogy melyik legyen a kiválasztott magasságpont.[br][br]Van a képernyőn még egy jel: [size=150][b]⟂[/b] amely egy két állapotú kapcsoló. Állapotát az ikon háttérszíne jelzi. [br][/size]Azt vezérli, hogy lássuk-e az éppen látható tetraéder lapjainak - mit háromszögeknek - a magasságvonalait, ill. a tetraéder test magasságvonalát. [br][br]Bízunk benne, hogy olvasóink hamar rájönnek, hogy az öt pont közül melyek a szabadon (vagy félig) szabadon) mozgathatók, amelyek a többit egyérelműen meghatározzák.

[list][*]A fenti applet öt pontja [i](A, B, C, D, E)[/i] valóban egyenrangú: bármelyik lehet a maradék négy pont által meghatározott tetraéder magasságpontja.[/*][*]Ezek a pontok nyolc háromszöget határoznak meg. [i]( ABC, ABD, ABE ,ACD, ACE, BCD, BCE, CDE),[/i] melyek mindegyike pontosan két tetraédernek a lapja.[br][/*][*]Általános esetben a tetraéderek közül egy olyan van, amelynek belső pontja a magasságpont, minden lapszöge hegyesszög, ez előáll a másik négy egymáshoz illesztésével.[/*][*]A ▶ jellel elérhető utolsó két összeállítás mutatja be, hogy egy csúcsnak a szemközti lapra eső merőleges vetülete ( a csúcshoz tartozó magasság [i]talppontja[/i]) a lap magasságpontja.[/*][*]Ha egy egyenes merőleges egy síkra, akkor merőleges a sík összes egyenesére is, ezért a tetraéder egyik élére és a magasságpontjára illeszkedő síkra merőleges a kiválasztott éllel szemközti él. Vagyis a magasságponttal rendelkező tetraéderek szemközti élei merőlegesek egymásra. Így ezeket a tetraédereket [b][i]ortogonális tetraédereknek[/i][/b] is szokás nevezni. [/*][/list]