정사각형의 한 변은 항상 임의의 유리수 비로 분할 될 수 있습니다. 하가의 정리는 이러한 분할을 사용하여 특별한 유리수의 길이를 갖는 작도를 할 수 있음을 보여줍니다. [br][br]하가의 정리와 같이 접는 다면 아래 표와 같은 관계가 항상 성립합니다.

이때, [math]x=\frac{n}{m}[/math] ([math]m>n[/math]인 자연수)로 놓으면 그 길이는 아래와 같이 바뀐다.

따라서 [math]m,n[/math]의 값을 잘 고르면 하가의 정리를 이용해서 원하는 [math]\frac{2m}{m+n}[/math]꼴의 유리수 길이를 빠르게 접을 수 있음을 알 수 있다.[br][br][br]이번엔 나머지 변도 [math]m,n[/math]을 이용해서 나타내어 보자. [math]x=\frac{n}{m}[/math]이므로 이를 일반화한 결과에 대입하면 나머지 변의 길이도 구할 수 있다.

△EAP에서 세 변의 길이 [math]\overline{EA},\overline{AP},\overline{EP}[/math]는 각각 [math]\overline{EA}=\frac{m^2-n^2}{2m^2}[/math] [math]\overline{AP}=\frac{n}{m}[/math] [math]\overline{EP}=\frac{m^2+n^2}{2m^2}[/math] 이다. [br][br]이때 세 변의 길이를 [math]2m^2[/math]으로 통분한 뒤 길이비를 구하면[br] [math]\overline{EA}:\overline{AP}:\overline{EP}=m^2-n^2:2mn:m^2+n^2[/math][br]이 된다.[br][br][math]m,n[/math]은 [math]m>n[/math]인 자연수이므로 [math]\overline{EA},\overline{AP},\overline{EP}[/math]의 길이비도 [math]\overline{EA}:\overline{AP}:\overline{EP}=m^2-n^2:2mn:m^2+n^2[/math][br]도 자연수가 됨을 알 수 있다. 즉, △EAP는 길이비가 항상 피타고라스 세 쌍이 되는 직각삼각형이다. [br][br][br]재미있는 것은 피타고라스 세 쌍을 만드는 방법과 △EAP는 길이비의 관련이 있다는 점이다. [br][br][br]

[b][color=#0000ff][피타고라스 세 쌍][/color][/b][br][br]피타고라스 세 쌍은 직각삼각형에 대한 피타고라스의 정리 [math]a^2+b^2=c^2[/math]을 만족하는 세 쌍의 자연수를 말한다. 특히, 피타고라스 세 쌍 중 서로소인 세 정수로 피타고라스 세 쌍을 원시 피타고라스 세 쌍(primitive Pythagorean triple)이라고 부른다. 모든 피타고라스 세 쌍은 원시 피타고라스 세 쌍의 배수라고도 할 수 있다.[br][br]아래 공식은 피타고라스 세 쌍을 만드는 유클리드 공식이다.[br][math]a=m^2-n^2[/math], [math]b=2mn[/math], [math]c=m^2+n^2[/math] ([math]m>n[/math]인 자연수)[br][br][br][b]따라서, 하가의 정리는 모든 피타고라스 세 쌍을 만드는 것이 가능하다고 결론 내릴 수 있다.[/b][br][br][br]참고 자료 : [br]1. [url=https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%94%BC%ED%83%80%EA%B3%A0%EB%9D%BC%EC%8A%A4_%EC%82%BC%EC%A1%B0]피타고라스 삼조 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 (wikipedia.org)[/url][br]2. [url=http://wiki.mathnt.net/index.php?title=%ED%94%BC%ED%83%80%EA%B3%A0%EB%9D%BC%EC%8A%A4_%EC%8C%8D(Pythagorean_triple)]피타고라스 쌍(Pythagorean triple) - 수학노트 (mathnt.net)[/url][br]3. [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple]Pythagorean triple - Wikipedia[/url][br]4. [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Diophantine_equation#Example_of_Pythagorean_triples]Diophantine equation - Wikipedia[/url][br][br][br][br][br]