SA4: Salto a lo... conocido
Material para trabajar en 4º de la ESO
Table of Contents
- Constancia y rectitud
- Viaje de fin de curso
- Rectas: constantes, lineales y afines
- Ejercicios 1
- Relación inversa
- Velocidad de Crucero
- Curva Inversamente Proporcional
- Ejercicios 2
- Relación Cuadrática
- Exposición en la Sagrada Familia
- Parábola: Vértice, puntos de corte y orientación
- Ejercicios 3
- Crecimiento insostenible
- Paseo por Andacerca
- Exponencial: Tasa de variación, pasos para doblarse
- Ejercicios 4
- Epílogo
- Salto estratosférico
Viaje de fin de curso
1. Problema
[justify][size=150]Un grupo de estudiantes de cuarto de ESO decide ir de viaje de fin de curso a la ciudad de Enlaschimbambas. Están estudiando las ofertas y se fijan en dos presupuestos. Viajes Arreburrez oferta 385€ de pasaje más 35€ por día de estancia. Tubilletepuntodecruz oferta 250€ por el pasaje más 50€ de estancia.[/size][/justify]
Responde
¿Cuáles serán los precios por persona si deciden viajar por cinco, diez o quince días con la agencia Arreburrez?
¿Cuáles serán los precios por persona si deciden viajar por cinco, diez o quince días con la agencia TuBilletePuntodeCruz?
2. Manipula y observa
[size=100][size=150]Representando en unos ejes cartesianos los días de estancia (Eje x) y el precio completo del viaje (Eje y), se puede representar su relación trazando cada par (nº días, €) como un punto en el plano. En la construcción siguiente solo debes escribir los valores del viaje para representar los puntos. ¿Qué puedes observar?[/size][/size]
Días de estancia frente a precio final
[color=#0000ff][b]Activa la casilla “Auxiliar”. Mueve los puntos grises y podrás ver que para una posición concreta la recta azul pasa por los tres puntos de la misma agencia.[/b][/color]
3. Manipula y observa
[justify]Mueve los puntos grises para que la recta azul pase[br]por los tres puntos representados para la agencia Arreburrez (naranja).[br][/justify]
Responde
Fíjate en el punto sobre el eje y, está señalado el valor en € , ¿con qué coincide?
Fíjate en el valor del segmento rojo, mide la diferencia entre los dos valores de[br]los puntos grises (en euros), ¿con qué coincide?
4. Reflexiona
[justify]Recuerda al calcular el precio final del viaje sumaste al coste del billete de avión, el coste de los días de estancia (coste diario x nº de días de estancia). Este patrón de cálculo se puede ver como una función que relaciona los días de estancia con el precio final.[br][/justify][center][b]COSTE VIAJE= AVIÓN+ ESTANCIA x NºDÍAS[/b][/center]
Responde
[justify]Si escribimos “y” para referirnos a el coste total del viaje y “x” para los días que se quedan. ¿Cuál sería la expresión algebraica para la agencia Arreburrez?[/justify]
[justify]Si escribimos “y” para referirnos a el coste total del viaje y “x” para los días que se quedan. ¿Cuál sería la expresión algebraica para la agencia Tubilletepuntodecruz?[/justify]
Velocidad de Crucero
1. Problema
Un barco traza una ruta marítima de 72 millas náuticas para recorrerlas a velocidad constante y uniforme.
Responde
Si desea tardar 4 horas ¿a qué velocidad de crucero deben navegar?
Si desea tardar 8 horas ¿a qué velocidad de crucero deben navegar?
Si desea tardar 2 horas ¿a qué velocidad de crucero deben navegar?
2. Manipula y Observa
A la izquierda, hay una recta en color rojo, es la representación gráfica de una función que muestra la distancia recorrida (Eje y) respecto del tiempo (Eje X). Además se ha trazado una recta auxiliar (gris), horizontal, en el valor 72 millas náuticas que representa el fin del viaje. A la derecha, verás un punto fucsia en un plano donde se ha representado el tiempo final del trayecto (Eje X) y la velocidad crucero que llevaría el barco (Eje Y).[br]Mueve el punto T sobre el eje de las x, se varía el tiempo de llegada al destino que está a una distancia constante de 72 millas.
Tiempo, espacio y velocidad
[b][color=#ff0000]La recta roja indica las millas recorridas en cada instante.[br][/color][/b][b][color=#999999]Moviendo el punto T, varía el tiempo total que dura la travesía de las 72M.[br][/color][color=#ff00ff]En la gráfica de la derecha puedes ver como se dibuja una curva: representa la velocidad de crucero en función del tiempo total que que dura la travesía.[br][/color][/b]
3. Manipula y observa
Arrastra el punto T a la posición que quieras analizar en cada situación y contesta a la pregunta.
Responde
Si el barco tarda 6h en recorrer las 72M, ¿cuántas millas recorrió en las primeras 2 horas?
Si el barco tarda en recorrer la travesía 12 horas, ¿cuántas millas le faltaran por recorrer tras 3 horas de viaje?
¿ A qué velocidad debería ir el barco para recorrer el trayecto en menos de 30 min?
¿ A qué velocidad debería ir el barco para recorrer el trayecto en más de 18h?
Exposición en la Sagrada Familia
1. Problema
[justify]Para todo el que quiera conocer la historia de la Sagrada Familia se ha diseñado una exposición de paneles que muestran planos originales y bocetos del propio Gaudí, además de varias fotografías con la evolución de la Catedral insignia de la Ciudad Condal.Esta exposición necesita 160 metros lineales para colocar los paneles y se quiere colocar en el interior de la catedral de forma que los paneles formen un rectángulo dejando en el interior el máximo de espacio libre para su visita. (Ver Boceto)[/justify]
Responde
Completa en tu cuaderno la siguiente tabla que relaciona el ancho, el largo y el área interior de la exposición.[br][table][tr][td][b]Lineal de paneles[br] [/b] Perímetro[/td][td][b][br]Ancho[br][/b][/td][td][b][br]Largo[br][/b][/td][td][b]Interior de la Exposición[br] [/b]Área[b][/b][/td][/tr][tr][td] 160 m[/td][td] 50 m[/td][td] 30 m[/td][td] 1500 [math]m^2[/math] [b][/b][/td][/tr][tr][td] 160 m[/td][td] 20 m[/td][td] 60 m[/td][td] [math]m^2[/math][/td][/tr][tr][td] m[/td][td] 70 m[/td][td] 10 m[/td][td] [math]m^2[/math][/td][/tr][tr][td] m[/td][td] 25 m[/td][td] m[/td][td] [math]m^2[/math][/td][/tr][tr][td] m[/td][td] m[/td][td] 35 m[/td][td] [math]m^2[/math][/td][/tr][/table]
Manipula y observa
[justify]En unos ejes cartesianos vamos a representar dos magnitudes de la exposición: el ancho en metros (Eje x) y el área interior en metros cuadrados (Eje y). De forma que la relación de cada par de magnitudes es un punto en el plano de coordenadas (ancho, área). [br][br]En la construcción siguiente debes completar la tabla con las áreas calculadas en el ejercicio anterior. ¿Qué puedes observar?[/justify][br]
Área interior respecto al ancho de la exposición
Responde
¿Qué dimensiones debe tener la exposición para que el área interior sea máxima?
Hay dos casos extremos en los que el área de la exposición es cero, esto son
Paseo por Andacerca
1. Problema
Un paseo por las dunas hasta la playa es de esas cosas que te hacen sentir en medio de un mar de arena, perdido en un pequeño desierto que se pierde en el horizonte. Pero lo cierto es que tiene límites.[br]Analizando los límites de las dunas de Andacerca durante unos cuantos años se han recogido datos del avance de las dunas hacia el sur, donde se pierden en el mar. Para ello, se marco su límite en 1985 y como han avanzado desde entonces:[br][table][tr][td][b]Año de estudio[/b][/td][td][b]Tiempo trascurrido[/b][/td][td][b]Territorio que ha perdido las dunas[/b][/td][/tr][tr][td]1985[/td][td]momento inicial[/td][td]delimitación inicial[/td][/tr][tr][td]1990[/td][td]5 años[/td][td] 1.4 ha[/td][/tr][tr][td]1995[/td][td]10 años[/td][td] 2.0 ha[/td][/tr][tr][td]2000[/td][td]15 años[/td][td] 2.8 ha[/td][/tr][tr][td]2005[/td][td]20 años[/td][td] 4.0 ha[/td][/tr][tr][td]2010[/td][td]25 años[/td][td] 5.7 ha[/td][/tr][tr][td]2015[/td][td]30 años[/td][td] 8.0 ha[/td][/tr][tr][td]2020[/td][td]35 años[/td][td]11.3 ha[/td][/tr][/table]
Responde
Si se sigue con esta progresión, ¿cuántas hectáreas se habrán perdido en 2055?
Las dunas de Andacerca ocupaban un espacio de 2060ha en 1985. A este ritmo ¿en que década se veran reducidas al 50%?
¿En que década desaparecerán?
Manipula y observa
En la construcción verás que el Eje x muestra la escala de tiempo transcurrido desde 1985 en años y en el Eje y el territorio de dunas perdido. Por tanto, cada punto representa el territorio de dunas perdido desde 1985 hasta ese momento. [br][br]Si activas "Ver curva" se representará una curva marrón y dos puntos sobre el Eje x. Mueve estos puntos grises, que tienen forma cuadrada, para manipular la forma de la gráfica. Además, podrás ver para cada uno de ellos su imagen representada por segmentos grises y con su valor en hectáreas al lado.[br]
Responde
Coloca uno de los puntos sobre [b]x=5 años[/b], ahora mueve el otro hasta que la curva se ajuste sobre los puntos. Repite la experiencia colocando el primer punto en 10, 15, 20...[br]¿Qué puedes observar?
[justify]Si nos fijamos en cuanto se reducen las dunas en diez años, se puede calcular cuanto ha avanzado de media por año. Si colocas el punto móvil en 20, verás que de 1995 a 2005 se perdieron 2ha, por lo que hablaríamos de una tasa de variación media de 0,2ha/año. Completa la tabla:[/justify][table][tr][td][b]Intervalo[/b][/td][td][br][/td][td][b]Tasa de variación[/b][/td][/tr][tr][td]1990-2000[/td][td][br][/td][td] ha/año[/td][/tr][tr][td]1995-2005[/td][td][br][/td][td] 0,2 ha/año[/td][/tr][tr][td]2000-2010[/td][td][/td][td] ha/año[/td][/tr][tr][td]2005-2015[/td][td][/td][td] ha/año[br][/td][/tr][tr][td]2015-2020[/td][td][br][/td][td] ha/año[br][/td][/tr][tr][td][/td][td][/td][td][/td][/tr][/table]
Salto estratosférico
EVALUACIÓN
A continuación encontrarás un problema, que describe la trayectoria de una persona en 4 fases. Cada una de las fases describe la trayectoria haciendo referencia a cada una de las funciones que hemos estudiado este tema.[br][br]Debes mover los elementos de la construcción para que se ajuste a lo descrito en cada momento, no deben producirse saltos ni deben quedar huecos por rellenar. [br][br]Se evaluará que la construcción se ajuste a lo solicitado y la tabla final que resume todo el viaje.
Problema
A [url=https://www.youtube.com/watch?v=mLXgd0b7EJ0]Heather Swan[/url] le gusta practicar [i]wingsuit[/i], es decir, lanzarse desde gran altura con un traje de vuelo y surcar el cielo. Ha decidido preparar un vuelo desde mayor altura... desde la estratosfera. [br][br]La trayectoria prevista tendrá el siguiente itinerario:[br][list=1][*]Ascenderá en globo hasta los 25mil metros, a velocidad constante durante 20 min.[/*][*]Se lanzará desde allí. Y empezará a descender de forma parabólica durante 4 min. Hasta los 9 mil metros, entonces desplegará las alas. [/*][*]Ira bajando "suavemente" durante otros 4 minutos, de forma que la altura será inversamente proporcional al tiempo hasta los 1000m. [/*][*]Abrirá el paracaídas que hará que la altura se reduzca un 20% por minuto, una hora después estará pisando tierra.[/*][/list]
COMPLETA
[br][table][tr][td][b]FASE[/b][/td][td][b]TIPO DE TRAYECTORIA[/b][/td][td][b]EXPRESIÓN ALGEBRAICA[/b][/td][td][b]INTERVALO DE TIEMPO[/b][/td][td][b]ALTURA INICIAL[/b][/td][td][b]ALTURA FINAL[/b][/td][/tr][tr][td][b]1[/b][/td][td]Recta[/td][td][/td][td][0 min, min)[/td][td]0 km[/td][td]25 Km[/td][/tr][tr][td][b]2[/b][/td][td]Parábola[/td][td][/td][td][ min, min)[/td][td][/td][td][/td][/tr][tr][td][b]3[/b][/td][td]Hipérbola[/td][td][/td][td][ min, min)[/td][td][/td][td][/td][/tr][tr][td][b]4[/b][/td][td]Exponencial[/td][td][/td][td][ min , 60 min)[/td][td][/td][td]0 Km[/td][/tr][/table]