El [b][color=#ff0000]Mittenpunkt[/color][/b], o [color=#ff0000][b]Punto Intermedio[/b][/color], [b][color=#ff0000]M[/color][/b] en la figura, es el [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/SimedianasPuntoLemoine.html]Punto simediano[/url] o [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/SimedianasPuntoLemoine.html]Punto de Lemoine[/url] de los [color=#ff7700][b]excentros[/b][/color], primeramente descrito por Nagel en 1836. [color=#ff0000][b]M[/b][/color] es el punto [b][color=#ff0000]X(9)[/color][/b] en la [url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html]Enciclopedia de Centros de Triángulos[/url] de Clark Kimberling. Se ve fácilmente que es el punto de concurrencia de las rectas que unen los excentros [color=#ff7700][b]I[sub]A[/sub][/b][/color], [color=#ff7700][b]I[sub]B[/sub][/b][/color] e [color=#ff7700][b]I[sub]C[/sub][/b][/color] con los puntos medios [color=#ff0000][b]D[/b][/color], [color=#ff0000][b]E[/b][/color] y [color=#ff0000][b]F[/b][/color] de los lados correspondientes. Las cevianas de estos puntos medios concurren en el [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/Nagel_punto.html]Punto de Nagel[/url] del [color=#0000ff][b]△ABC[/b][/color]: [br][br]En efecto, el [color=#0000ff][b]△ABC[/b][/color] es el [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/Triangulo_Ortico.html]triángulo órtico[/url] del [b][color=#ff7700]△I[sub]A[/sub]I[sub]B[/sub][/color][/b][color=#ff7700][b]I[sub]C[/sub][/b][/color], por lo que este último triángulo es semejante a los [color=#ff7700][b]△I[sub]A[/sub]CB[/b][/color], [b][color=#ff7700]△[/color][/b][color=#ff7700][b]I[sub]B[/sub]AC[/b][/color] e [color=#ff7700][b]△I[sub]C[/sub]BA[/b][/color]. En particular, [color=#ff7700][b]∠BCI[sub]A[/sub] = ∠I[sub]A[/sub]I[sub]C[/sub]I[sub]B[/sub][/b][/color] e [color=#ff7700][b]I[sub]A[/sub]BC = ∠I[sub]C[/sub]I[sub]B[/sub]I[sub]A[/sub][/b][/color], por lo que los lados [color=#ff7700][b]I[sub]C[/sub]I[sub]B[/sub][/b][/color] y [color=#0000ff][b]BA[/b][/color] son antiparalelos respecto de los [color=#ff7700][b]I[sub]A[/sub]I[sub]C[/sub][/b][/color] e [color=#ff7700][b]I[sub]A[/sub]I[sub]B[/sub][/b][/color], y la mediana del [b][color=#ff7700]△I[sub]A[/sub]BC[/color][/b] es la simediana del [color=#ff7700][b]△I[sub]A[/sub]I[sub]C[/sub]I[sub]B[/sub][/b][/color], correspondientes ambas al vértice [color=#ff7700][b]I[sub]A[/sub][/b][/color]. Por lo tanto, el punto [color=#ff0000][b]D[/b][/color] está en la simediana, e igualmente para los otros vértices (qed).[br][br][color=#ff0000][b]M[/b][/color] esta alineado con el [color=#ff00ff][b]baricentro G[/b][/color] y el [color=#ff00ff][b][url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/Gergonne_punto_Adams_circ.htm]Punto de Gergonne[/url] Ge[/b][/color], siendo [color=#ff00ff][b]MG = -½GGe[/b][/color]. Es decir [color=#ff0000][b]M[/b][/color] es el Punto de Gergonne del triángulo medial. [br][br]También está alineado con el [color=#ff7700][b]incentro I[/b][/color] y el [color=#ff7700][b][url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/SimedianasPuntoLemoine.html]Punto de Lemoine L[/url][/b][/color] , así como con el [color=#9900ff][b]ortocentro H[/b][/color] y el [color=#9900ff][b][url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/Spieker_punto.html]Punto de Spieker S[/url][/b][/color], incentro del triángulo medial. [br][br]Pero además, [color=#ff0000][b]M[/b][/color] es el centro de la [color=#38761d][b]elipse inscrita de Mandart[/b][/color], [color=#38761d][b]μ[/b][/color] en la figura, que es tangente a los lados del [color=#0000ff][b]△ABC[/b][/color] en los puntos de contacto de las circunferencias exinscritas. La elipse [color=#38761d][b]λ[/b][/color] circunscrita al [b][color=#0000ff]△ABC[/color][/b] y que tiene centro en [color=#ff0000][b]M[/b][/color], además es confocal con [color=#38761d][b]μ[/b][/color] e inscrita en el triángulo de los exincentros. El [color=#0000ff][b]△ABC[/b][/color] esta entonces inscrito en [color=#38761d][b]λ[/b][/color] y circunscrito a [color=#38761d][b]μ[/b][/color], por lo que por el [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/PorismaPoncelet.html]Porisma de Poncelet[/url], partiendo de cualquier otro punto [color=#38761d][b]X[/b][/color] de [color=#38761d][b]λ[/b][/color] y trazando las tangentes a [color=#38761d][b]μ[/b][/color], que la cortarán nuevamente en [color=#38761d][b]Y[/b][/color] y [color=#7f6000][b]Z[/b][/color], el triángulo [color=#38761d][b]△XYZ[/b][/color] también esta circunscrito a [color=#38761d][b]μ[/b][/color]. Esto ocurre siempre con cualquier polígono inscrito en una cónica y circunscrito a otro, por el citado Porisma de Poncelet. Lo extraordinario de este caso, es que además estos triángulos son órbitas triángulares de reflexión en la elipse [color=#38761d][b]λ[/b][/color], de manera que una bola de billar lanzado desde cualquier punto de su perímetro con una trayectoria tangente a [color=#38761d][b]μ[/b][/color], volvería al punto de partida después de dos reflexiones y continuaría repitiendo la misma órbita triangular indefinidamente. Esto es debido a que [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/Angulos_Tangentes_PuntoExterior_Focos_Elipse.html]los ángulos entre las tangentes a una elipse[/url] y las rectas que los unen con los focos son iguales , respecto a la elipse [color=#38761d][b]μ[/b][/color], y a que los ángulos formados por los radios vectores y la tangente también son iguales, referido a la elipse [b]λ[/b], por la [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/Elipse.html]propiedad focal de la elipse[/url]. Al ser ambas elipses confocales, los lados del [color=#38761d][b]△XYZ[/b][/color] forman ángulos iguales con las tangentes a [color=#38761d][b]λ[/b][/color] en sus vértices, y una bola de billar incidente según uno de sus lados se reflejará en [color=#38761d][b]λ[/b][/color] a lo largo del lado consecutivo.[br][br]Respecto a esto último, son muy interesantes los enlaces:[br][br][url=https://dan-reznik.github.io/Elliptical-Billiards-Triangular-Orbits/]Invariants of N-Periodics in an Elliptic Billiard[/url] [br][br][url=https://editor.p5js.org/dreznik/full/i1Lin7lt7]Elliptic Billiard: Loci of Triangular Centers[br][/url][br]También pueden explorarse las órbitas en las elipses con este otro applet: [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/Reflexion_repetida_elipse.html]Reflexiones repetidas en la elipse[/url].

[url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Nagel/]Christian Heinrich von Nagel[/url] (Stuttgart 1803 - Ulm 1882) fue un matemático alemán, que utilizaba métodos de demostración geométricos puramente elementales.[br][br]H. Mandart fue un matemático belga del siglo XIX conocido por sus contribuciones a la geometría del triángulo.