Sie finden hier eine kommentierte Beispielrechnung für die Bestimmung des Abstandes eines Punktes von einer Geraden.

Gegeben:[br] [math]A \, := \, \left(3,\;7,\;1 \right) \\ R \, := \, \left(-2,\;18,\;9 \right) \\ T \, := \, \left(34,\;-3,\;-23 \right)[/math][br]Die Ortsvektoren der Punkte sind:[br][math]\vec{a} \, := \, \left( \begin{align}3 \\ 7 \\ 1 \end{align} \right) \\ \vec{r} \, := \, \left( \begin{align}-2 \\ 18 \\ 9 \end{align} \right) \\ \vec{t} \, := \, \left( \begin{align}34 \\ -3 \\ -23 \end{align} \right)[/math][br]Jeder Ortsvektor eines Punktes der Geraden kann Stützvektor der Geraden sein. Ich wähle als Stützvektor[br][math]\vec{s}_g=\vec{r}[/math][br]Also[br][math]\vec{s}_g \, := \, \left( \begin{align}-2 \\ 18 \\ 19 \end{align} \right)[/math][br]Jeder Differenzvektor zweier Ortsvektoren von zwei verschiedenen Punkten der Geraden ist eine Richtungsvektor der Geraden. [br][math]\vec{r}_g=\vec{t}-\vec{r}[/math][br][math]\vec{r}_g \, := \, \left( \begin{align}36 \\ -21 \\ -32 \end{align} \right)[/math][br]Die Geradengleichung der Geraden g in Parameterform lautet also:[br][math]g:\vec{x}_g=\vec{x}_g+\lambda\cdot\vec{r}_g[/math][br][math]g:\vec{x}_g=\left( \begin{align}-2 \\ 18 \\ 9 \end{align} \right)+\lambda \cdot \left( \begin{align}36 \\ -21 \\ -32 \end{align} \right)[/math]

Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden ist der festgelegt als der kürzeste Abstand.[br]Der Punkt P soll der Punkt auf der Geraden g sein, der den geringsten Abstand zum Punkt A hat.[br][math]\vec{p}[/math] ist der Ortsvektor diese Punktes.[br]Da der Punkt auf der Geraden liegt gibt es einen Wert für [math]\lambda[/math], so dass[br][math]\vec{p}=\vec{s}_g+\lambda\cdot\vec{r}_g[/math] (1)[br]Den geringsten Abstand zur Geraden g hat der Punkt P dann, wenn der Verbindungsvektor von P nach A senkrecht zur Geraden und damit zum Richtungsvektor der Geraden ist.[br][math]\vec{v}[/math] ist der Verbindungsvektor zwischen P und A.[br]Dann gilt:[br][math]\vec{v}=\vec{p}-\vec{a}[/math][br]Mit (1) ergibt sich dann:[br][math]\vec{v}=\vec{s}_g+\lambda\cdot\vec{r}_g-\vec{a}[/math][br]Da [math]\vec{v}\perp\vec{r}_g[/math] muss das Skalarprodukt der beiden Vektoren 0 sein:[br][math]\vec{v}\cdot\vec{r}_g=0[/math][br][math]\left(\vec{s}_g+\lambda\cdot\vec{r}_g-\vec{a}\right)\cdot\vec{r}_g=0[/math][br]Das liefert die folgende Gleichung für [math]\lambda[/math]:[br][math](3501*λ)-1167=0|+1167[/math][br][math]\lambda=\frac{1}{3}[/math][br][br]Setzt man [math]\lambda[/math] in die Geradengleichung ein, so findet man den Ortsvektor des Punktes P:[br][math]\vec{p}=\left( \begin{align}10 \\ 11 \\ 5 \end{align} \right)[/math][br]

Der Abstand der Punkte A und P entspricht dem Betrag des Verbindungsvektors [math]\vec{v}[/math]:[br][math]\vec{v}=\vec{a}-\vec{p}=\left( \begin{align}3 \\ 7 \\ 1 \end{align} \right)-\left( \begin{align}10 \\ 11 \\ 5 \end{align} \right)[/math][math]=\left( \begin{align}-7 \\ -4 \\ -4 \end{align} \right)[/math][br][math]\left|\vec{v}\right|=\left|\left( \begin{align}-7 \\ -4 \\ -4 \end{align} \right)\right|[/math][math]=\sqrt{(-7)^2+(-4)^2+(-4)^2}=\sqrt{81}=9[/math][br]Der Abstand des Punktes A zur Geraden g beträgt 9 LE.