[br]Napiszemy równanie stycznej do krzywej [math]S[/math] opisanej równaniem [center][math]x^3+y^3-2xy=0[/math][/center]w punkcie [math]A=(1,1)[/math] (patrz [url=https://pl.wikipedia.org/wiki/Li%C5%9B%C4%87_Kartezjusza]liść Kartezjusza[/url]).

[u]Rozwiązanie.[/u][br]Najpierw sprawdzimy, czy podany punkt leży na krzywej i wykażemy, że na pewnym otoczeniu punktu [math]x=1[/math] istnieje dokładnie jedna funkcja [math]y=f(x)[/math] uwikłana podanym równaniem i taka, że [math]f(1)=1[/math]. Następnie skorzystamy ze wzoru na styczną do wykresu funkcji [math]f[/math] w punkcie [math]x_0[/math]: [center][math]y-f\left(x_0\right)=f'(x_0)(x-x_0)[/math].[/center]Wyznaczona styczna do wykresu funkcji [math]f[/math] będzie jednocześnie szukaną styczną do krzywej [math]S[/math].

Ponieważ [math]F(1,1)=0[/math] i [math]F'y(1,1)=1\ne0[/math], więc istnieje dokładnie jedna funkcja [math]y=f\left(x\right)[/math] uwikłana podanym równaniem, określona na pewnym otoczeniu punktu [math]x=1[/math] i taka, że [math]f(1)=1[/math]. Ponadto [math]f'(1)=-1[/math] (patrz wiersz 8 i 9). Podstawiając odpowiednie wartości do wzoru na styczną otrzymujemy: [math]y-1=-1(x-1)[/math].[br][br][b]Odpowiedź.[/b] Równanie stycznej do krzywej [math]S[/math] w punkcie [math](1,1)[/math]: [math]y=-x+2[/math].

[color=#666666][table][tr][td][b][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][br][/b][/td][td][color=#666666][i][/i][/color][color=#666666][i][color=#666666][size=100][u]Uwaga[/u]. Do sprawdzenia poprawności uzyskanego rozwiązania można wykorzystać[color=#666666][color=#666666][i][color=#666666][size=100] narzędzie [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_tangent.png[/icon][/size][/color][/i][/color][/color]lub polecenie [b]Styczna[/b](A,S) pozwalające bezpośrednio wyznaczyć równanie stycznej do krzywej [math]S[/math] w punkcie [math]A[/math].[/size][/color][/i][/color][/td][/tr][/table][/color]

[br]Wyznacz równanie stycznej do krzywej [math]S[/math] opisanej równaniem [math]x^3+y^3-4xy=0[/math] w punkcie [math]A=(2,2)[/math].