Beschreibende Statistik
AutorInnen: Gabriele Bleier, Franz Embacher, Evelyn Süss-Stepancik Link: http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/beschreibendeStatistik/index.html
Table of Contents
- 0. Didaktisches Begleitmaterial
- Beschreibende Statistik
- 1. Mittelwert - arithmetisches Mittel
- Notendurchschnitt
- Mittelwert von 2 Zahlen
- Mittelwert von 3 Zahlen
- Mittelwert von 4 Zahlen
- Mittelwert von 5 Zahlen
- Formel: Mittelwert (arithmetisches Mittel, Durchschnittswert)
- Übungsaufgaben Mittelwert
- Venedig
- 2. Median
- Stirnreihe
- Bleistifte
- Definition
- Ausreißer
- Übungsaufgaben
- 3. Quartile
- Definition
- Beispiel
- Übungsaufgaben
- 4. Boxplot
- Boxplot zeichnen
- Beispiel A
- Beispiel B
- Beispiel C
- Übungsaufgaben
- Interpretations- und Vergleichsaufgaben
- 5. Standardabweichung
- Definition
- Routenwahl
- 6. Weitere Übungsaufgaben
- Österreichische Bevölkerung nach Regionen
Beschreibende Statistik
Beschreibende Statistik
[b]Liebe Kolleginnen und Kollegen![br][br]Unter dem folgenden Link finden Sie weitere didaktische Hinweise und methodisches Begleitmaterial:[br][/b][b][color=#ff0000][br][url=http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/beschreibendeStatistik/index.html]http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/beschreibendeStatistik/index.html[/url][br][br][/color][/b]AutorInnen: Gabriele Bleier, Franz Embacher, Evelyn Süss-Stepancik[br][br]Der Lernpfad baut auf folgenden [b]Vorkenntnissen[/b] auf:[br]Diagramme erstellen, lesen, deuten; intuitive Vorstellung vom Mittelwert.[br][br]Neue Begriffe werden von den Schüler/innen eigenständig und in verschiedenen Sozialformen erarbeitet:[br][list][*]arithmetisches Mittel und seine Eigenschaften; [/*][*]Median und seine Eigenschaften; [/*][*]Quartile; [/*][*]Boxplot; [/*][*]Standardabweichung. [/*][/list][br]Erarbeitungs- und Übungsbeispiele (auch mit großen Datensätzen) können mit verschiedenen Medien (Papier, CAS-Rechner, Excel/Tabellenkalkulation) gelöst werden und, wo nötig, werden Hilfestellungen zur Handhabung dieser Medien angeboten. Das kritische Betrachten und Vergleichen verschiedenster Kennzahlen soll zum besseren Verständnis dieser beitragen.[br][br][b]Methode[br][/b]Der Lernpfad wurde zum selbstständigen Erarbeiten der Inhalte konzipiert und kann als Lernspirale, eLearning mit Integration von Plattformen sowie eLearning Einheit ohne Verwendung von Plattformen eingesetzt werden.[br][br][b]Grobes Lernziel[br][/b]Die wichtigsten Zentral- und Streuungsmaße sowie die Auswirkungen von Ausreißern ermitteln und interpretieren können. Datensätze mit verschiedenen Medien bearbeiten können.[br]
Notendurchschnitt
In den vorigen Klassen hast du bereits gelernt, den "Mittelwert" zu berechnen und du hast auch ganz bestimmt schon mehrere Male deinen "Notendurchschnitt" berechnet.[br][list][*]Beschreibe mit eigenen Worten, wie du deinen Notendurchschnitt berechnet hast![/*][*]Beschreibe mithilfe einer Formel, wie du deinen Notendurchschnitt berechnet hast![/*][/list]
Stirnreihe
Du kennst bereits eine statistische Kennzahl, das arithmetische Mittel. Daneben gibt es noch andere Möglichkeiten, einen Mittelwert zu suchen:[br][br]In Turnen habt ihr sicher schon oft eine Stirnreihe gebildet und euch dazu der Größe nach aufgestellt. Wie würdest du vorgehen, wenn du ohne Maßband und möglichst rasch eine Person auswählen sollst, die den durchschnittlichen Schüler bzw. die durchschnittliche Schülerin in Hinblick auf die Körpergröße repräsentiert?[br]
Definition
Um genauere Aussagen über die Verteilung von Daten treffen zu können, sind neben den beiden Zentralmaßen Mittelwert und Median sowie den Streuungsmaßen Minimum und Maximum weitere Kennzahlen notwendig. Lies den folgenden Text und notiere dir zunächst die neuen Begriffe und ihre Bedeutung![br][br]Was du schon weißt: Eine Liste von Datenwerten wird der Größe nach geordnet. Der Median (Zentralwert) [b]teilt diese[/b] geordnete [b]Liste[/b] der Datenwerte in eine [b]untere[/b] und eine [b]obere Teilliste[/b]. (Bei einer [i]ungeraden[/i] Zahl von Datenwerten entspricht der Median dem mittleren Wert. Beim Teilen in untere und obere Teilliste wird dann dieser Wert nicht berücksichtigt).[br][br]Nun werden die beiden Teillisten weiter unterteilt:[br][br][list][*]Das [b]untere Quartil[/b] (auch: [b]1.Quartil q1[/b]) ist der Median der unteren Teilliste.[/*][*]Das [b]obere Quartil[/b] (auch: [b]3.Quartil q3[/b]) ist der Median der oberen Teilliste.[/*][*]Der [b]Median[/b] ([b]Zentralwert[/b]) entspricht dann dem [b]mittleren Quartil[/b] (auch: [b]2.Quartil q2[/b]).[/*][/list]Die Idee besteht also darin, die Datenwerte in vier Klassen aufzuteilen:[br][br][list][*]Ein Viertel der Werte liegt unterhalb des unteren Quartils q1.[/*][*]Ein Viertel der Werte liegt zwischen dem unteren Quartil q1 und dem Median.[/*][*]Ein Viertel der Werte liegt zwischen dem Medien und dem oberen Quartil q3.[/*][*]Ein Viertel der Werte liegt oberhalb des oberen Quartils q3.[/*][/list]Im mittleren Bereich zwischen unterem und oberen Quartil liegen 50% der Datenwerte, die sogenannten "mittleren 50% der Datenwerte".[br]
Boxplot zeichnen
Ein [b]BoxPlot[/b] ([b]Kastenschaubild[/b]) ist ein Diagramm, das von einer Datenliste lediglich das Minimum, das Maximum, den Median, das untere und das obere Quartil zeigt.[br][br]Anhand eines Beispiels: Am 03.04.2000 wurden an verschiedenen Orten die Tageshöchstwerte gemessen und ausgewertet.[br][br][list][*]Die gemessenen Werte liegen zwischen min = 11° und max = 18° C.[/*][*]In 50% der Orte liegt der Tageshöchstwert zwischen q1 = 12° und q3 = 16° C.[/*][*]25% der Werte liegen zwischen min = 11° und q1 = 12° C.[/*][*]In einem Viertel der Orte liegt der Tageshöchstwert zwischen q1 = 12° und med = 15° C.[/*][*]25% der erhobenen Daten liegen zwischen q3 = 16° und max = 18° C.[/*][/list]
1. Schritt: Skala zeichnen
2. Schritt: Werte für den Kasten in der Skala eintragen
3. Schritt: Kasten zeichnen
4. Schritt: Begrenzungswert in der Skala eintragen
5. Schritt: Schaubild fertig stellen
Definition
Neben der Spannweite und dem Quartilsabstand zwischen unterem und oberem Quartil stellt die [b]Standardabweichung[/b] ein weiteres Maß für die Streuung dar. Sie gibt an, wie stark die Datenwerte im Durchschnitt vom Mittelwert abweichen.[br][br][list][*]Um sie zu ermitteln, berechnest du zunächst für jeden Datenwert den Unterschied zum Mittelwert.[/*][*]Die Unterschiede werden einzeln quadriert.[/*][*]Anschließend wird aus den quadrierten Unterschieden die Summe berechnet.[/*][*]Die Summe wird durch die Anzahl n der Datenwerte dividiert.[/*][*]Aus dem Ergebnis wird abschließend die Wurzel gezogen.[br][br][/*][/list]Vorgangsweise für vier Datenwerte a, b, c und d mit Mittelwert m:[br][br][list][*]Unterschiede berechnen: (a - m), (b - m), (c - m ), (d - m)[br][br][/*][*]Quadrieren: (a - m)², (b - m)², (c - m)², (d - m)²[br][br][/*][*]Summe bilden: (a - m)² + (b - m)² + (c - m)² + (d - m)²[br][br][/*][*]Division durch 4:[br][u](a - m)² + (b - m)² + (c - m)² + (d - m)²[/u][br] 4[/*][*]Durch Ziehen der Quadratwurzel erhältst du die Standardabweichung s:[br][/*][/list][br][math]s=\sqrt{\frac{\left(a-m\right)^2+\left(b-m\right)^2+\left(c-m\right)^2+\left(d-m\right)^2}{4}}[/math][br]Die Standardabweichung wird als Abweichung links und rechts vom Mittelwert eingezeichnet:
Im Bereich der Standardabweichung liegen in der Regel ungefähr 2/3 der Datenwerte.[br][br]Für n Datenwerte x[sub]1[/sub], x[sub]2[/sub], … x[sub]n[/sub] mit Mittelwert m lautet die Formel:[br][br][math]s=\sqrt{\frac{\left(x_1-m\right)^2+\left(x_2-m\right)^2+...+\left(x_n-m\right)^2}{n}}[/math][br][br]Beachte: Die Standardabweichung wird auch manchmal mit dem Buchstaben [math]\sigma[/math] bezeichnet.
Österreichische Bevölkerung nach Regionen
Die Tabelle enthält die Bevölkerungszahlen von Österreich geordnet nach Regionen.[br]Das Datum zeigt den Stichtag der Zählung an.[br]Die Daten stammen von STATISTIK AUSTRIA.[br][br][br]
[list=1][*]Markiere alle Bevölkerungszahlen! Es entsteht ein blauer Rahmen. [/*][*]Klicke auf "Analyse in einer Variablen" [icon]/images/ggb/toolbar/mode_onevarstats.png[/icon][/*][*]Klicke auf "Statistik anzeigen" [icon]/images/ggb/toolbar/mode_sumcells.png[/icon][b]x [/b]Du erhältst eine Liste mit den wichtigsten Kenngrößen. [/*][*]Beantworte damit folgende Fragen:[/*][/list]
a) Ermittle die durchschnittliche Einwohnerzahl der Regionen!
b) Welche Region liegt am nächsten beim Mittelwert?
c) Ermittle den Median!
d) Kreuze die richtigen Aussagen an!