[b][size=100][size=150][color=#999999]このページは電子ブック「[i][url=https://www.geogebra.org/m/a4dwkkhh]探求　数学Ⅲ[/url]」の一部です[/i]。[/color][br][/size][/size][/b]

[b][size=150]＜複素数と定義と複素平面＞[br][/size][/b]実数Rの要素a,bを使い、虚数単位i(i2=-1)の一次式z=a+biで表すことができる数を[color=#0000ff][b]複素数[complex number][br][/b][/color]という。環境によっては、[color=#9900ff][b][size=150]虚数単位[imaginary unit]i[/size][/b][/color]を[i]i[/i]と[br]イタリックにしたりjを使ったりすることもある。pythonのように。[br]aとbだけを抜き出して[color=#0000ff][b][size=150](a,b)のように座標や[/size][size=150]位置ベクトルと同様に[/size][/b][/color]かくこともできる。[br]aを[color=#0000ff][b]実部[/b][/color]、bを[color=#0000ff][b]虚部[/b][/color]という。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]z=0+ 0 i は複素平面の原点O(0 ,0)に対応する。極座標はO=(0; θ) [br]z= i は複素平面の点A(0 ,1)に対応する。極座標は A=(1; π/2) [br]z= -1 は複素平面の点B(-1 ,0)に対応する。極座標は B=(1; π) [br]z=1/2+ √3/2 i は複素平面の点C(1/2 ,√3/2)に対応する。極座標はC=(1; π/3) [br][br][b][size=150]＜共役複素数＞[br][/size][/b]複素数z[sub]1[/sub]=a+biとz[sub]2[/sub]=c+diが等しいのは(a==c ∧b==d）に限る([color=#0000ff][b]==はGeogebraの論理表現[/b][/color]）[br]複素数z1とz2の実部が等しく、虚部の和が０になる複素数の組を互いに[color=#0000ff][b]共役[conjugate][/b][/color]という。[br][b][size=150]z=a+biの[/size][/b][color=#0000ff][b]共役複素数zバー([math]{\overline{z}}[/math])[/b][/color]=[size=150][b]a[color=#9900ff]-b[/color]i[/b][/size]となる。[br]バーが表示できない環境では、[color=#0000ff][b]*(アスタリスク)[/b][/color]をつけて、z*とかくことがある。[br][u][b]（注意）Geogebraのテキスト画面では、数学記号として mathと\mathを[　]に入れて[br]開始タグと終了タグとし、その中に\overline{　ｚ　}などと記述すればよい。アプリの中では、[br]数学記号タグ不要で、いきなりtex文とかけばよい。tex文は文字の前に\ナントカという命令をつける。[br][/b][/u][br]共役記号は、和、差、定数倍、積、商どれにでも、部分に分解して入り込める。[br]つまり、[br][math]\bold{\overline{\left(\alpha+\beta\right)}=\overline{\alpha}+\overline{\beta},\overline{\left(\alpha-\beta\right)}=\overline{\alpha}-\overline{\beta},\overline{\left(\alpha\cdot\beta\right)}=\overline{\alpha}\cdot\overline{\beta},\overline{\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)}=\frac{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}}[/math] [br][color=#0000ff]（理由）[/color][br]α=(a, b), β=(c,d) と実部、虚部を座標のようにかいて途中をたどってみよう。[br][color=#9900ff][b]複素数の和・差はベクトルと同じで各成分の和差とする。[br][/b][/color][u][color=#9900ff]公式以外の記述では[b][size=150]共役は*で表す[/size][/b][size=150][b]ことにする[/b][/size]。[br][/color][/u]α+β=(a+c, b+d) だから、(α+β)*=(a+c, [color=#9900ff]-b-d[/color])。[br]一方で、α*+β*=(a, -b)+(c,-d)=(a+c,[color=#9900ff]-b-d[/color])[br]また、差はdを-dに,cを-dにするだけだから、成り立つ。[br][br][color=#9900ff][b]複素数の積・商は多項式の積・分数式の有理化との類比で定義されている。[br][/b][/color]αβ=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi[sup]2[/sup]=(ac-bd)+(ad+bc)iと展開してiについて整理できる。[br]だから、(αβ)*=(ac-bd)[color=#9900ff]-(ad+bc)[/color]i。[br]一方、α*β*=(a[color=#9900ff]-b[/color]i)(c[color=#9900ff]-d[/color]i)=ac[color=#9900ff]-[/color]a[color=#9900ff]d[/color]i[color=#9900ff]-b[/color]ci+[color=#ff00ff]bd[/color]i[sup]2[/sup]=(ac-[color=#ff00ff]bd[/color])[color=#9900ff]-[/color](a[color=#9900ff]d[/color]+[color=#9900ff]b[/color]c)i[br]1/α=1/(a+bi)=(a-bi)/((a+bi)(a-bi))=(a-bi)/(a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup])だから、(1/α)*=(a[color=#9900ff]+b[/color]i)/(a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup])[br]一方、1/α*=1/(a[color=#9900ff]-b[/color]i)=(a[color=#9900ff]+b[/color]i)/((a[color=#9900ff]-b[/color]i)(a[color=#9900ff]+b[/color]i))=(a[color=#9900ff]+b[/color]i)/(a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup])[br]積も逆数も共役複素数は演算の前に分解できるから、商も分解できることになる。[br][br][b][size=150]＜絶対値＞[/size][/b][br]複素数[math]\overline{z}=a+bi[/math] の大きさとは、複素数の実部と虚部をそれぞれR座標、Z座標とする平面での位置ベクトルのサイズ|z|のことで、[math]\sqrt{a^2+b^2}[/math] で求められる。[br]一方で、[math]\bold{z\cdot \overline{z}=\left(a+bi\right)\left(a-bi\right)=a^2-\left(bi\right)^2=a^2+b^2=\left|z\right|^2}[/math][br]のように、[color=#0000ff][b]複素数に共役複素数をかけると、複素数の絶対値の２乗[/b][/color]を求めることができる。[br]もちろん、|z*|=|z|だから、[color=#0000ff][b]絶対値記号があるときは共役記号は消せるね！[/b][/color][br]一方で,[br]複素数を極形式でz1=(r1 ; θ1) , z2=(r1; θ2)と表すと、[br]|[color=#0000ff][b][size=150]z1・z2| =|(r1・r2；θ1+θ2)|＝r1・r2=|z1||z2|。[br]|z1/z2| =|(r1/r2；θ1-θ2)|＝r1/r2=|z[b][size=150]1|/|z2|[/size][/b]。[br][/size][/b][/color]このように、動径は演算と同じで、偏角は積なら和、商なら差になる。[br]ということは絶対値は、動径の問題なので、複素数の積・商の絶対値は、絶対値の積・商になるね。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「aが実数のとき２次方程式x[sup]2[/sup]+ax+4a=0が絶対値が４の２つの虚数解をもつときのa」は?[br]２つの虚数解をαとβとすると、解と係数の関係からαβ=4a、α+β=-a。[br]そして、虚数解は共役複素数のペアになることから、αβ=αα*=4・4=16。4a=16からa=4。[br][br][br][b][size=150]＜複素数の実数条件＞[br][/size][/b]成分で表すなら明らかに[color=#0000ff][b]実数条件は虚部＝０[/b][/color]というだけのことだね。[br]しかし、共役複素数(*）を使うと、成分表示をしなくても実数条件が表せる。[br][color=#0000ff][b][size=150]z=z*[/size][/b][/color]。[br]これで、虚部＝０と必要十分だね。計算は省略しよう。[br][color=#0000ff]（例）[br][/color]「z+1/zが実数である条件」は？[br]z+1/z-(z+1/z)*=z+1/z-z*-1/z*=0と同値。zz*=r[sup]2[/sup]とする。[br]ｚ≠0のとき、zz*をかけると[br]zzz*+z*-zz*z*-z=0[br]r2(z-z*)-(z-z*)=(r[sup]2[/sup]-1)(z-z*)=0。[br]だから、|z|=1かｚはｚ≠0の実数となる。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「z=(1+αi)/(1-αi)（α≠-i)なら、αが実数⇔|z|=1」はどうしてか？[br]p=1+αi, q=1-αi。αα*=r[sup]2[/sup]とする。[br]（⇒）|p|=|q|=√(1+α[sup]2[/sup])=kとする。|z|=k/k=1。[br]（逆）p*=1+(αi)*=1+(α)*(i)*=1-α*i, q*=1-(αi)*=1-(α)*(i)*=1+α*i,[br] |z|[sup]2[/sup]=(p/q)・(p/q)*=(p/q)・((1-α*i)/(1+α*i))=1[br] p(1-α*i)-q(1+α*i)=(1+αi)(1-α*i)-(1-αi)(1+α*i)=1+(α-α*)i+r[sup]2[/sup]-(1+(α*-α)i+r[sup]2[/sup])=2(α-α*)i =0[br] これから、α-α*=0となる。だから、α=α*となり、αは実数。[br]

[b][size=150]＜ド・モアブルの定理＞[br][/size][color=#0000ff][size=150](cosθ+ isinθ)[sup]n[/sup]=cos nθ+isin nθ[br][br][/size][/color][/b][color=#0000ff]（理由）[/color][br]z=(ｒ; θ) とすると、ｚの成分は(r cosθ, r sinθ)となるから、z= r(cosθ+isinθ)。[br]複素数の積の定義から、極形式でかくとzz=(rr;θ+θ)=(r[sup]2[/sup]；2θ)。[br]これから、z[sup]n[/sup]=(r[sup]n[/sup] ；nθ) 、z[sup]n[/sup]=(r[sup]n[/sup] cosnθ, r[sup]n[/sup] sinnθ)=r[sup]n[/sup](cosnθ + i sinnθ)。[br]これから、 (r(cosθ+isinθ))[sup]n[/sup]=r[sup]n[/sup](cosnθ + i sinnθ) この式でr=1とすればよい。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「[math]z^3＝-8i[/math]となる解ｚ」は？[br]z[sup]3[/sup]=(8；270度±360k度)だから、θ={270,630,-90}/3={90,210,-30}(度)など。[br]z={(２；90度), (２；210度), (２；-30度)}={[math](0,2),(-\sqrt{3},-1),(\sqrt{3},-1)[/math]}[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「方程式[math]z^3-3z^2+3z-1-i=0[/math]の解z」は?[br]p=z-1とおくと、z=p+1で、p[sup]3[/sup]=i＝(1; 90度±360k度) だから、θ={90,450,-270}/3={30,150,-90}(度)など。[br]p={(1;30度),(1;150度),(1;-90度)}={(√3/2,1/2),(-√3/2,1/2),(0,-1)}[br]z=p+1=p+(1;0)={(√3/2,1/2),(-√3/2,1/2),(-1,0)}+(1,0)={[math](1+\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}),(1-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}),(1,-1)[/math]}[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「[math]F(x)=(x+ai)^n=p(x)+q(x)i[/math]で、実部と虚部が実数の整式ならp(x)をx-aで割った余り」は?[br]F(a)=(a+ai)[sup]n[/sup]=p(a)+q(a)iとなる。(a+ai)[sup]n[/sup]=(√2a; 45度)[sup]n[/sup]=(√2a)[sup]n[/sup](cos45n, sin45n)[br]=(√2a)[sup]n[/sup]cos45n+ (√2a)[sup]n[/sup]sin45n iより、p(x)をｘ-aで割った余りp(a)=[math](\sqrt{2}a)ncos45n[/math]。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「[math]α、βがα^2+β^2=αβ、|α-β|=3[/math]を満たすとき原点Oとα、βを頂点とする三角形の面積」は？[br]　α[sup]2[/sup]+β[sup]2[/sup]=αβの両辺をα[sup]2[/sup]で割り、z＝β/αとおくと、1+z[sup]2[/sup]=z 。[br] z[sup]2[/sup]-z+1=0。z=(1±√3i)/2=β/α[br]　z=(1；±60度)　から、βはαを±60度回転したもの。[br]　|α-β|=|α-(1±√3i)/2α|=|1-(1±√3i)/2||α|=|(1/2, ±√3/2)||α|=1・|α|=|α|=3。[br]　だから、三角形Oαβは一辺3の正三角形となる。[br]　面積は1/2・3・3・sin30度＝9/2・√3/2=[math]\frac{9}{4}\sqrt{3}[/math]。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「[math]z=cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)+i\cdot sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)[/math],[math]\alpha=z+z^2+z^4,\beta=z^6+z^5+z^3[/math] とするときにα+β、αβ、αの値」は？[br]・ド・モアブルの定理からz[sup]7[/sup]=1がすぐわかるね。[br]　すると、[math]z^7-1=\left(z-1\right)\left(1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6\right)=\left(z-1\right)\left(1+\alpha+\beta\right)=0[/math]　で、z≠1から、α+β=-1だね。[br]・|z|=1から1/z=[math]\overline{z}[/math]となり、[math]\overline{z^k}=\overline{z}^k=(1/z)^k=(1/z^k)=(z^7/z^k)=z^{7-k}[/math]　だから、[br][math]\overline{\alpha}=\overline{z+z^2+z^4}=z^6+z^5+z^3=\beta[/math]となり、αとβは共役とわかるね。[br]αβ=[math]\left(z+z^2+z^4\right)\left(z^6+z^5+z^3\right)=z^7+z^7+z^7+\left(z^6+z^4\right)+\left(z^8+z^5\right)+\left(z^{10}+z^9\right)=3+z^6+z^4+z^1+z^5+z^3+z^2[/math][br]αβ=3-1=2。[br]・解と係数の関係から、αとβはt[sup]2[/sup]+t+2=0の解で、zが単位円を７等分した最小の角の複素数。[br]z[sup]k[/sup]はそのｋ倍の角になるから、αとβの実部は等しくαの虚部が正、βの虚部が負となるとわかる。[br][math]\alpha=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2}[/math][br]