In questo paragrafo partiamo dalla forma base dell'andamento esponenziale ed introduciamo delle caratteristiche aggiuntive che ci permettono di descrivere situazioni più articolate. In particolare lavoreremo sulla forma che può assumere l'esponente della funzione.[br][br][color=#ff0000][size=150]TRASLARE [NEL TEMPO?] LA CURVA ESPONENZIALE[/size][/color][br]Ci chiediamo come possiamo interpretare una funzione che presenta un addendo aggiuntivo all'esponente, ad esempio:[br][br][math]\Large{p(t)=700 \cdot (0,9)^{t+3}}[/math] [br][br]Otteniamo una funzione di questo tipo nella prossima animazione.

[br]Nell'esempio dell'animazione abbiamo interpretato la forma particolare dell'esponente come effetto di una traslazione, in questo caso nel tempo (per ripassare le traslazioni nel piano cartesiano puoi consultare [url=https://www.geogebra.org/m/bENRgkEw#material/HPG8sKca]questa pagina[/url]).[br][br]Facciamo un altro esempio. [br][br][color=#0000ff][b]L'andamento della temperatura media terrestre è data dalla funzione[br][br][math]\Large{T(a)=\textcolor{#007700}{30}\cdot \textcolor{red}{1,005}^{a+12}}[/math][br][br]dove [math]\large{a}[/math] è il numero di anni trascorsi a partire da oggi. Che caratteristiche possiamo dedurre per questo andamento?[br][/b][/color][br]Osserviamo che[br][list][*]Il fattore [math]\large{\textcolor{red}{1,005}}[/math] ci indica che la temperatura aumenta dello [math]\large{\textcolor{red}{0,5\%}}[/math] all'anno.[/*][*]L'esponente rivela tuttavia che la temperatura di riferimento, [math]\large{\textcolor{#007700}{30}}[/math], non si riferisce ad oggi (l'anno "zero"): essa infatti si ottiene [b]NON quando [math]\large{a}[/math] vale zero bensì quando [u][color=#ff00ff]l'esponente[/color][/u] vale zero[/b], quindi quando [math]\large{a+12=0 \rightarrow a=-12}[/math], cioè dodici anni fa. [br][/*][/list]In conclusione, possiamo affermare che 12 anni fa la temperatura media terrestre era di 30 gradi e che sta aumentando dello 0,5% l'anno.[br][br]Avremmo potuto dire che abbiamo traslato l'andamento "base" 12 anni indietro, collocando il valore iniziale a 12 anni fa, ma come si è visto [b]non è necessario fare riferimento esplicito ad una traslazione per interpretare questo tipo di espressioni[/b], anche se talvolta può essere utile. [br][br]Questo è vero a maggiore ragione se consideriamo che la variabile indipendente che si trova all'esponente non misura necessariamente un tempo trascorso, come nel prossimo esempio.[br][br][b][color=#0000ff]Il grado di acidità di una certa soluzione chimica diminuisce del 2% per ogni grado di aumento della temperatura. Scrivere il modello che indica l'acidità in funzione della temperatura, sapendo che a 20° l'acidità vale 3,5.[br][/color][/b][br]Il fattore moltiplicativo è pari a [math]\large{1-2\%=1-0,02=0,98}[/math] e l'esponente dovrà misurare l'aumento di temperatura in gradi. Dato che sappiamo che ad una temperatura di [math]\large{20}[/math] è associata un'acidità di [math]\large{3,5}[/math] possiamo ottenere il match tra questa coppia di valori ponendo [math]\large{3,5}[/math] come valore iniziale "traslato" ed adattando di conseguenza l'esponente:[br][br][math]\Large{A(T)= 3,5\cdot 0,98^{T-20}}[/math][br][br]Puoi vedere facilmente che a 20° si ha l'acidità indicata, e che l'esponente misura l'aumento rispetto a questa temperatura di riferimento.[br][br][color=#6aa84f][b]Puoi trovare altri esempi e chiarimenti [u]nella prima parte[/u] di questa playlist, i cui video parlano della traslazione della funzione esponenziale.[br][/b][/color][br][url=https://youtube.com/playlist?list=PLgx1BjJWJCWs4PBep1kpgLEGQC0w3GSjU]https://youtube.com/playlist?list=PLgx1BjJWJCWs4PBep1kpgLEGQC0w3GSjU[/url][br]

[color=#ff0000][size=150]ANDARE ALL'INDIETRO[/size][/color] [br]Consideriamo il seguente esempio.[br][b][color=#0000ff][br]Il volume del gas Stranio segue l'andamento della funzione[br][br][math]\Large{V(T) = \overline{V} \cdot 1,07^{13-T}}[/math][br][br]dove [math]\large{T}[/math] è la temperatura del gas in gradi centigradi. Formulare delle previsioni su come cambia il volume al variare della temperatura del gas.[br][/color][/b][br]Possiamo fare le seguenti osservazioni:[br][list][*]il volume aumenta del 7% per ogni variazione di un grado, dato che [math]\large{1,07=1+0,07=1+7\%}[/math][/*][*]il gas ha volume [math]\large{\overline{V}}[/math] quando [math]\Large{13-T=0}[/math], quindi a 13°[/*][*]il volume [b]aumenta[/b] del 7%, cioè [math]\large{\overline{V}}[/math] viene moltiplicato per [math]\large{1,07}[/math] una volta [b]in più[/b], quando la temperatura [b]diminuisce[/b] di un grado. Infatti il segno [math]\large{-}[/math] davanti a [math]\Large{T}[/math] fa sì che si ottiene un fattore [math]\large{1,07}[/math] in più quando [math]\Large{T}[/math] diminuisce di 1. Ad esempio per [math]\Large{\textcolor{#008800}{T=0}}[/math] si ha [math]\Large{\textcolor{#008800}{V(0) = \overline{V} \cdot 1,07^{13}}}[/math] mentre per [math]\large{T=-1}[/math] otteniamo [math]\large{V(-1) = \overline{V} \cdot 1,07^{13-(-1)} = \overline{V} \cdot 1,07^{14} = \textcolor{#008800}{\overline{V} \cdot 1,07^{13}}\cdot 1,07^1 =\textcolor{#008800}{V(0)} \cdot 1,07}[/math], cioè il 7% in più di [math]\large{\textcolor{#008800}{V(0)}}[/math].[/*][/list][b]NOTA:[/b] dal punto di vista geometrico abbiamo applicato una [b]simmetria rispetto all'asse delle[/b] [math]\large{y}[/math], cioè una trasformazione del tipo [math]\large{T'=-T}[/math] (le coordinate positive diventano negative e viceversa).