[i]"Van, amit el tudok képzelni, és le tudok rajzolni. Van, amit el tudok képzelni, de nem tudok lerajzolni. De tudnék-e olyat rajzolni, amit nem tudok elképzelni? Ez nagyon érdekel."[br][right][url=http://utisz-utisz.blogspot.com/]Orosz István[/url][/right][/i]

Számtalan matematikai és egyéb probléma kezdődhet így. Mit jelent az, hogy [u]adott[/u]? [br]Vegyük a kezünkbe egy modelljét, tegyük az asztalra, rajzoljuk le, esetleg egy-egy zsinórra felfüggesztve, mint azt Leonardo tette? Vagy csak képzeljük el, hogy "ott van" a szemünk előtt?

A "[i]Legyen adott... [/i]" kezdetű mondatot értelmezve fel kell tételeznünk, hogy van egy közlő ([i]adó[/i]) egy befogadó ([i]vevő[/i]) és egy "[i]kommunikációs csatorna[/i]" amely arról gondoskodik hogy az adó és a vevő pontosan ugyanazt értse az átküldött "dolog" (fogalom, összefüggés, kapcsolat, stb.) alatt. Maga a "csatorna" lehet egy rajz, leírás, de akár egy egyértelműen megadott számokból álló struktúra (számítógépi program) is, ha a "csatorna" éppen egy számítógép, amely jól -rosszul közvetít az adó és a vevő között.[br][br]Ha például a GeoGebra eszköztárát választjuk a címben említett két objektum megjelenítésére (megadására), és befogadására (szemlélésére), és ezt nem szeretnénk elintézni két beépített paranccsal, két egymástól jól elkülöníthető adatszerkezetet kell megadnunk. a program számára. Különösen akkor, ha e két objektum közötti kapcsolatot szeretnénk elemezni. [br] [br]Először meg kell adnunk a csúcsaik koordinátáit - a GeoGebra koordináta rendszerében-, majd a (kombinatorikus) szerkezetüket, vagyis azt, hogy a megadott pontokat milyen sorrendben megadva kapjuk meg a két objektum lapjait, éleit. Ez történhet fordított sorrendben is - mint jelen esetben, ha a csúcsaik valamilyen módon függenek egymástól. A vevő - jelen esetben e sorok érdeklődő olvasója - megelégedhet a kapott látnivalókkal, amelyeket "interaktívan beavatkozva" módosíthat, alaposan megismerhet. Sőt, ha nagyon elszánt, felfedezhet olyan új összefüggéseket is, amelyekre az "adó" - e sorok írója - talán nem is gondolt. [br][br]Minden további fontoskodás helyett nézzük a konkrétumokat. :-)[br][br]Bár a geometriában nincs "lent és fent" azért mégis célszerű ezeket az adatokat praktikus módon felvenni, mint azt Leonardo tette. Csak nekünk a GeoGebra 3D-s koordinátarendszeréhez kell igazodnunk. Legyen a két alakzat középpontja az origó, a kocka tengelyei legyenek párhuzamosak a koordinátarendszer tengelyeivel, az oktaéder átlói legyenek a tengelyek.[br][br]Az alábbi GeoGebra fájlban máris adunk egy kis feladatot olvasóinknak: alaphelyzetben csak egy pontot látnak. Ezt kicsit megmozgatva az egérrel, találják ki, hogy minek mi a hatása!

... a fenti appleten lévő pontot mozgatva kiderül, hogy a feltáruló négyzeten mozgó [b][size=200][color=#9900ff]∘[/color][/size][/b] pont a megjelenő kocka és oktaéder, a négyzet oldalán mozgó [color=#0000ff]▶[/color] pont pedig egy gömb áttetszőségét vezérli.[br][br]Közismert, hogy a kocka lapjainak középpontjai egy szabályos oktaédernek, ennek a középpontjai egy kockának a csúcsai. Az appletben megjelent még egy csúszka is, amely mozgatásával a kockának és az oktaédernek egy rögzített, [i]r [/i]sugarú gömbhöz - így egymáshoz is - viszonyított mérete változik. Ezt a változást itt az [i]a*b=r[sup]2[/sup][/i] kapcsolat írja le, ahol [i](a,a,a)[/i] számhármasa kockának, [i](0,0,b)[/i] az oktaédernek egy-egy csúcsát határozza meg. [br] Ezzel egyértelművé tettük nem csak a magunk, hanem a GeoGebra programunk számára is, hogy miként [u]adott[/u] a kocka és vele együtt egy oktaéder.[br][br]A csúszkával "kitapogatható" az a speciális eset, amelyben a kocka és az oktaéder egymásnak megfelelő élei nem csak merőlegesek egymásra, hanem metszik is egymást. Ebben az esetben a kocka és az oktaéder [u]test[/u] közös része (metszete) az un. [i]kocka-oktaéder[/i]. [br][br]Ezt a félig szabályos poliédert is ismerte, lerajzolta Leonardo, mi több, Arkhimédész is.

A poliédereknek ezt a szabályos poliédereknél - a [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Szab%C3%A1lyos_test]platóni testek[/url]nél - kissé népesebb (13 tagú) családját, amelyeknek a lapjai szabályosak, de többféle lapjuk is lehet, testszögleteik viszont nem szabályosak, de egybevágók, [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Arkhim%C3%A9d%C3%A9szi_testek]arkhimédészi testek[/url]nek nevezik a matematikusok. Mi most azonban - ezt a szép témát (ideiglenesen) elengedve - más irányba fogunk kalandozni.[br]

[br]Az első appletben a két szabályos poliédernek egy szorosabb kapcsolatát mutattuk be, ezek egymásnak az [i]r[/i] sugarú gömbbel megadott [i]duálisai.[/i] A poliéderek közötti duális kapcsolat ennél lényegesen általánosabb összefüggés. Erről itt juthatnak olvasóink kicsit[url=https://www.geogebra.org/m/hkhsv32r] részletesebb ismeretek[/url]hez.[br][br]Általánosabban egy-egy poliéder duálisának az előállítása két dolgot jelent:[br][list][*]meg kell keresni egy poliéder hálózatának (kombinatorikus szerkezetének) a duálisát, kihasználva, hogy az eredeti poliéder csúcsainak a keresett poliéder lapjai, lapjainak a csúcsai, éleinek az élei felelnek meg;[/*][*]meg kell adni egy olyan- többnyire egy gömbbel meghatározott - [i]térbeli polaritást[/i], amely a tér pontjaihoz síkokat, síkjaihoz pontokat, egyeneseihez egyeneseket rendel illeszkedéstartó módon, majd ezzel meg kell (kellene?) határozni a duális poliéder csúcsait.[/*][/list]Példaként nézzük meg az iménti kocka-oktaéder közötti duális kapcsolatot kissé általánosabban.[br][br]Az alábbi applet annyiban különbözik az előzőtől, hogy ha a jelölőnégyzettel bekapcsoljuk a szerkesztés lehetőségét, mozgatni tudjuk az oktaéder csúcsait. Ha ezt megtesszük, akkor az így kapott általános oktaéder duálisa egy kocka szerkezetű poliéder lesz, amely akár önátmetsző is lehet. A kezdő állapot a ↶ gombbal állítható vissza.[br][br]Minden esetre könnyen eljuthatunk addig a tapasztalatig, hogy a poliéderek és duálisaik kapcsolata olykor bonyolultnak tűnő, de mindenképpen szép összefüggés. [br][br]Ezzel megadhatók (lerajzolgatók) olyan geometriai alakzatok, amilyeneket talán el sem tudtunk képzelni.

E sorok írója ezt a bizarr állítást az utcán olvasta egy játékos - talán filozofikus - hajlamú fiú pólóján. [br]Hmm. Aki ilyet állít magáról, és ezt közhírré is teszi, minden bizonnyal tud valamit a halmazelmélet és a logika [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Russell-paradoxon]antinómiáiról.[/url][br][br]Játsszunk mi is egy kicsit! Csak itt és most -házi használatra szánt - fogalomként vezessünk be néhány - a klónozásra hajazó - összefüggést. Itt most a klón szót a másolat, megkettőzés értelemben használjuk, ami [url=https://utisz-utisz.blogspot.com/2017/08/konyv-tukorben-ii.html]olykor tilos[/url], bár a matematikában kevésbé. Még talán örülhetünk is neki.[br][br]Nevezzünk egy poliédert k[i]lónozásra alkalmas[/i]nak, ha [i]p[sub]3[/sub][/i] háromszög, [i]p[sub]4[/sub][/i] négyszög,... [i]p[sub]n[/sub][/i] [i]n[/i]-szög lapja, és ugyancsak [i]p[sub]3[/sub][/i] háromélű, [i]p[sub]4[/sub][/i] négyélű, ... [i]p[sub]n[/sub][/i] [i]n[/i] élű csúcsa van. Ilyen például a szabályos tetraéder, általában az [i]n[/i] oldalú gúla, vagy az összes olyan tórusz-szerű poliéder, amelynek minden lapja négyszög és minden csúcsába 4 él fut be.[br] [br]Egy klónozásra alkalmas kombinatorikus szerkezetű, és alkalmasan megadott csúcsokkal egyértelművé tett poliéder [i]klónjának[/i] nevezzük azt, amelyhez [u]van olyan gömb[/u], amelyre vonatkozó polaritással előáll az eredetivel [u]egybevágó[/u] duális poliéder. Olykor igen nehéz feladat ilyen poliédert találni. Az is előfordulhat, hogy hiába alkalmas egy poliéder klónozásra, még sem tudjuk (esetleg nem is lehet) úgy megadni a csúcsait, hogy a duálisa a klónja legyen. [br][br]De van ennél nehezebb kérdés is. Vajon van-e olyan poliéder, amely [u]egybeesik[/u] a klónjával, mint ahogy ezt az említett fiatalember állította magáról?

Először keressünk egy klónozásra alkalmas kombinatorikus szerkezetű poliédert.[br][br]Segítségért - tunya, melankolikus módon - mindjárt forduljunk az örök ifjú, [url=https://www.szepmuveszeti.hu/mutargyak/melankolia-i/]Albrect Dürerhez[/url], aki 43 évesen többek között megajándékozott bennünket egy híres poliéderrel, amelyről azóta is jóízűen vitatkoznak [url=https://www.theguardian.com/science/alexs-adventures-in-numberland/2014/dec/03/durers-polyhedron-5-theories-that-explain-melencolias-crazy-cube]a matematikusok[/url], de [url=http://utisz-utisz.blogspot.com/2021/05/durer-550.html]nem csak ők. [b]Sőt[/b][/url][center][b]![/b][/center]Az mindenki számára nyilvánvaló, hogy Dürer "kezébe vett" egy hegyes romboédert, (hat egybevágó rombuszból álló, szerkezetét tekintve kocka-szerű poliédert), amelynek a két hegyesszögű testszögletét levágta két szabályos háromszöggel. A vita tárgya az, hogy milyen volt a csonkolás előtti romboéder, (pl. mekkorák a rombuszok szögei, vagy a rombuszok átlóinak az aránya), és "hol vágta el" a rombuszokat, vagyis mekkorák a levágott háromszögek oldalai az eredeti rombusz oldalaihoz képest.[br][br]Ezt a kérdést mi most hagyjuk nyitva.

Talán közismertnek tekinthető a kockának az a tulajdonsága, hogy a testátlóik, mint tengelyek körül 120°-os forgatással önmagába vihető. Egy nem derékszögű romboédernek -így a Dürer poliédernek is - csak egy ilyen tengelye van. Már csak ezért is érdemes a kockát "csúcsára állítani", mert könnyebben eligazodhatunk, ha ez a forgástengely a koordinátarendszer[i] z[/i] tengelye.[br][br]Egy ilyen speciális helyzetben felvett (z forgástengelyű, origó középpontú) romboéder egyértelműen megadható pl. egy [i]z[/i]-re nem illeszkedő csúcsával, így a Dürer-szerkezetű csonkolt romboéder megadásához elegendő három változtatható paramétert megadnunk.

A Dürer-poliédernek minden csúcsába három-három él fut be, van két háromszög és hat ötszöglapja.[br] Gondolhatnánk, hogy a poliéderen belül "ott van" egy (nem szabályos) oktaéder, amelynek két szemközti lapja a Dürer-poliéder két háromszöglapja. [br]Mi lenne, ha ... elvennénk ezeket a háromszöglapokat, helyettük az oktaéder további hat lapja alkotná az immár tórusz-szerű "lyukas" poliéder felület "belső" részét?[br][br]Önduális poliédereket keresve egyszeriben stimmelne a leltár: ennek a poliédernek hat ötszög és hat háromszöglapja lenne, és hat csúcsába öt-öt él, a másik hatba három-három él futna be. A házi szóhasználatunkkal élve: klónozható! Alkalmas méretezéssel talán elérhető, hogy a poliéder egybevágó legyen aduálisábal. Talán az is megoldható, hogy az ötszöglapok kerüljenek belülre, és a háromszöglapok kívülre. Így egy "Dürer-szerű" poliéder folytonos deformálással átmehet "oktaéderszerűbe".[br][br]Hátha valamelyik elrendezéssel önduális változatot is kaphatunk.

A fenti appletben a Dürer-poliéder alakját csúszkával szabályozott paraméterekkel adtuk meg, azt is megengedve, hogy a romboéder kockává sőt tompaszögűvé - lapos romboéderré - fajuljon. Ugyanígy a csonkolás helye, mértéke is változtatható. (Érdemes megjegyezni, hogy ugyanazokból a - nem túl hegyes - rombuszokból felépíthető egy hegyes és egy lapos romboéder is. [br][br]Az így kapott két - azonos szerkezetű - poliéder egymás duálisa. A Láthatóságuk az előző appletnél megismert módon szabályozható, formájuk a három csúszkával alakítható.[br][br]Van még az appletben három ikon-szerű rajz. Ezere kattintva a csúszkák felvesznek egy-egy speciális helyzetet, talán éppen azokat, amiket keresünk. Aki teheti, ezeket csak végszükség esetén használja, ne fossza meg magát az önálló felfedezés örömétől. [br][br]Ugyanis ezekkel a paraméterekkel nem csak kocka, a duálisával egybevágó "klón" hanem a klónjával egybe is eső változat is "kitapogatható". [br][br]Némi számolás árán az is belátható, hogy az így kapott változatok nem csak körül-belül, hanem matematikailag pontosan olyanok, amilyeneket kerestünk.[br][br]Ezzel matematikai szempontból is figyelemre méltó, különleges poliédert találtunk.Örülhetünk neki. [br][br]Csakhogy...

... csakhogy valójában nem így történt.[br][br]E sorok írójának[url=https://www.ponticulus.hu/rovatok/hidverok/bosze-gallery.html] Böszörményi István [/url]szobrászművész mutatott egy kockából kialakított "kívül-belül kockasíkok" változatot. Ebből kiindulva némi kísérletezés, számolgatás árán állt elő az a változat, amelyhez van olyan gömb, amelyre vonatkozó polaritás a poliédert [u]pontosan[/u] önmagába viszi. [br][br]Ezt kerestük. Erről (is) készített [url=https://www.ponticulus.hu/img1/sculpture/bosze115_md.jpg]térplasztikát a művész.[/url] Így hát ez a poliéder, vagy ez a műalkotás elmondhatná magáról, hogy [b]"Én a klónom vagyok!"[/b] (Szerencsére a poliéderek épp úgy mint a szobrok eléggé hallgatagok.)[br][br]Vajon a matematika, vagy a képzőművészet szépsége - jószerével mindkettő - hatott-e jobban kedves olvasóinkra? Önökre bízzuk a választ.[br][br]Reméljük olvasóink is csatlakoznak ahhoz, hogy - így, együtt - fűzzünk hozzá két szót Orosz István fenti mottójához, miszerint [i]... "Ez nagyon érdekel."... [u]minket is[/u]! [/i]