Sejam [math]f[/math], [math]g[/math]: [a, b ] [math]\longrightarrow[/math] [math]\mathbb{R}[/math],  funções integráveis. Valem as seguintes propriedades:[br][b]1. Aditividade por intervalos.[/b] Sendo [math]f[/math]uma função integrável nos intervalos [a, c] e [c, b] , então ela é integrável em [a,b] e [br][center][math]\int_a^bf\left(x\right)dx=\int_a^cf\left(x\right)dx+\int_c^bf\left(x\right)dx[/math][/center]Na construção a seguir , veja que movendo o controle deslizante definimos um valor para c e podemos verificar a propriedade da aditividade por intervalos da integral de uma função nos intervalos [1, c] e [c , 5]. [br]

[b]2.[/b] [b]Aditividade.[/b] Sendo e [math]f[/math] e [math]g[/math] integráveis no intervalo [a, b], então o mesmo é verdade de [math]f+g[/math] e [br][center][br][math]\int_a^b\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\int_a^bf\left(x\right)dx+\int_a^bg\left(x\right)dx[/math][/center]A propriedade diz que a integral de uma soma é a soma das integrais. Para as funções positivas, isso diz que a área sob f + g é a área sob f mais a área sob g. Observe geometricamente isto na construção abaixo:[br]

[b]3. Multiplicação por escalar. [/b]Sendo [math]f[/math] uma função integrável no intervalo [a, b] e [math]C[/math] uma constante, então o mesmo é verdade de [math]Cf[/math] e[br][center][br][math]\int_a^bCf\left(x\right)dx=C\int_a^bf\left(x\right)dx[/math][/center][justify]Movendo o controle deslizante C da construção abaixo, veja que o gráfico de f(x) expande ou comprime verticalmente quando multiplicado por um número positivo. Logo, devemos esperar o mesmo em relação aos retângulos sob a curva f(x), isto significa que área ,também, está sendo multiplicada pelo escalar. Esta construção nos permite verificar,intuitivamente, que a área sob a curva Cf(x) no intervalo [0, 6] é igual a área sob a curva f(x) no intervalo [0,6] multiplicada pelo escalar C. [/justify][center][/center]