Формулы и понятия по математике 10-11 для ЕГЭ
Формулы для ЕГЭ по математике
Table of Contents
- Алгебра, начала мат. анализа и теория вероятностей
- Вычисления и преобразования (№7)
- Графики функций (№11)
- Производная и первообразная (№8, №12)
- Теория вероятностей (№4, №5)
- Геометрия
- Формулы по планиметрии (№1, №2)
- Формулы по стереометрии (№3)
Вычисления и преобразования (№7)
Формулы сокращённого умножения
[list][*][math]\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2[/math][br][/*][*][math]\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2[/math][br][/*][*][math]a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)[/math][br][/*][*][math]\left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/math][br][/*][*][math]\left(a-b\right)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3[/math][br][/*][*][math]a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)[/math][br][/*][*][math]a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)[/math][br][/*][/list]
Свойства степеней и корней
[list][*][math]a^n\cdot a^m=a^{nm}[/math][br][/*][*][math]\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}[/math][br][/*][*][math]\left(a^n\right)^m=a^{nm}[/math][br][/*][*][math]\left(ab\right)^n=a^n\cdot b^n[/math][br][/*][*][math]\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}[/math][br][/*][*][math]\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}},\quad a>0[/math][br][/*][/list]Если степень корня чётная: [math]n=2k,\quad k\in\mathbb{N}[/math], то не забываем про модули:[br][list][*][math]\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{\left|a\right|}\sqrt[n]{\left|b\right|}[/math][br][/*][*][math]\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{\left|a\right|}}{\sqrt[n]{\left|b\right|}}[/math][br][/*][*][math]\sqrt[n]{a^n}=\left|a\right|[/math][br][/*][/list]Если степень корня нечётная: [math]n=2k-1,\quad k\in\mathbb{N}[/math], то можно выносить минус за корень и пользоваться свойствами степени:[br][list][*][math]\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}[/math][br][/*][/list]Полезное свойство для решения уравнений:[br][list][*][math]a^{f\left(x\right)}=a^{g\left(x\right)}\Leftrightarrow f\left(x\right)=g\left(x\right)[/math][/*][/list]
Свойства логарифомов
[list][*]Определение: [math]a>0,a\ne1,b>0\rightarrow a^x=b\Leftrightarrow x=\log_ab[/math][br][/*][*][math]\log_ea\equiv\ln a[/math], [math]\log_{10}a\equiv\lg a[/math][br][/*][*][math]a^{\log_ab}=b[/math] (основное логарифмическое тождество)[/*][*][math]\log_aa^k=k[/math][br][/*][*][math]\log_ab^k=k\log_ab[/math][br][/*][*][math]\log_{a^k}b=\frac{1}{k}\log_ab[/math][br][/*][*][math]\log_abc=\log_ab+\log_ac[/math], если [math]b>0,c>0[/math][/*][*][math]\log_a\frac{b}{c}=\log_ab-\log_ac[/math], если [math]b>0,c>0[/math][br][/*][*][math]\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}[/math] (формула перехода к новому основанию)[/*][*][math]\log_ab=\frac{1}{\log_ba}[/math][br][/*][*][math]\log_ab\cdot\log_bc=\log_ac[/math][br][/*][*][math]\log_ab\cdot\log_cd=\log_ad\cdot\log_cb[/math][br][/*][/list]
Свойства модуля
[list][*]Определение: [math]|a|=\begin{cases}a,\quad a\geq0\\-a,\quad a<0\end{cases}[/math][br][/*][*][math]\left|a\right|\ge0[/math][br][/*][*][math]\left|ab\right|=\left|a\right|\left|b\right|[/math][br][/*][*][math]\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{\left|a\right|}{\left|b\right|}[/math][br][/*][*][math]\left|a\right|=\left|-a\right|[/math][br][/*][*][math]a^2=\left|a\right|^2=\left|a^2\right|[/math][br][/*][/list]
Тригонометрические тождества
[list][*][math]\sin^2x+\cos^2x=1[/math][br][/*][*][math]\text{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}[/math][br][/*][*][math]\text{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}[/math][br][/*][*][math]1+\text{tg}^2x=\frac{1}{\cos^2x}[/math][br][/*][*][math]1+\text{ctg}^2x=\frac{1}{\sin^2x}[/math][br][/*][*][math]\text{tg}x\text{ctg}x=1,\quad x\ne\frac{\pi n}{2},n\in\mathbb{Z}[/math][br][/*][/list]
Формулы приведения
Тригонометрические формулы (сложения, двойного угла)
[list][*][math]\sin\left(x+y\right)=\sin x\cos y+\cos x\sin y[/math][br][/*][*][math]\sin\left(x-y\right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y[/math][br][/*][*][math]\cos\left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y[/math][br][/*][*][math]\cos\left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y[/math][br][/*][*][math]\sin2x=2\sin x\cos x[/math][br][/*][*][math]\cos2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x[/math][br][/*][/list]
Формулы по планиметрии (№1, №2)
Простейшие факты с углами
[list][*]Смежные углы дают в сумме [math]180^{\circ}[/math][br][/*][*]Вертикальные углы равны[/*][*]Сумма углов треугольника равна [math]180^{\circ}[/math][br][/*][*]Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна [math]90^{\circ}[/math][br][/*][*]У равнобедренного треугольника две стороны равны и два угла при основании равны[/*][*]У равностороннего треугольника все углы равны [math]60^{\circ}[/math][br][/*][*]Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны[br][/*][*]Внутренние односторонние углы при параллельных прямых дают в сумме [math]180^{\circ}[/math][br][/*][*]Соответственные углы при параллельных прямых равны[/*][*]Внешний угол треугольника равен сумме двух, не смежных с ним[/*][/list]
Прямоугольный треугольник
[list=1][*]Теорема Пифагора: [math]a^2+b^2=c^2[/math][br][/*][*][math]\sin\alpha=\frac{a}{c}[/math], где [math]a[/math] - катет напротив угла [math]\alpha[/math][br][/*][*][math]\cos\alpha=\frac{b}{c}[/math], где [math]b[/math] - катет, прилежащий к углу [math]\alpha[/math][br][/*][*][math]\text{tg}\alpha=\frac{a}{b}[/math], где [math]a[/math] - катет напротив угла [math]\alpha[/math][br][/*][*][math]h=\frac{ab}{c}[/math], [math]h=\sqrt{c_ac_b}[/math] - высота к гипотенузе[/*][*][math]r=p-c=\frac{a+b-c}{2}[/math] - радиус вписанной окружности, [math]p=\frac{a+b+c}{2}[/math] - полупериметр[/*][*][math]S=\frac{1}{2}ab[/math] -площадь прямоугольного треугольника[/*][/list]
Равносторонний треугольник
[list][*][math]h=\frac{\sqrt{3}}{2}a[/math][br][/*][*][math]r=\frac{1}{3}h=\frac{\sqrt{3}}{6}a[/math] - радиус вписанной окружности[br][/*][*][math]R=\frac{2}{3}h=\frac{\sqrt{3}}{3}a[/math] - радиус описанной окружности[/*][*][math]R=2r[/math][br][/*][/list]
Формулы площади треугольника
[list][*][math]S=\frac{1}{2}ah[/math], [math]\frac{1}{2}a[/math] - длина средней линии[/*][*][math]S=\frac{1}{2}ab\sin\alpha[/math][br][/*][*][math]S=pr[/math], [math]p=\frac{a+b+c}{2}[/math] - полупериметр[/*][*][math]S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}[/math] (формула Герона)[/*][*][math]S=\frac{abc}{4R}[/math] [math]\left(\Rightarrow R=\frac{abc}{4S}\right)[/math][/*][/list]
Четырёхугольники
Параллелограмм:[br][list][*][math]S=ab\sin\alpha[/math][br][/*][*][math]S=ah_a=bh_b[/math][br][/*][*][math]d_1^2+d_2^2=2\left(a^2+b^2\right)[/math][br][/*][/list]Выпуклый четырёхугольник:[br][list][*]Теорема Вариньона: четырёхугольник, образованный серединами сторон выпуклого четырёхугольника является параллелограммом, площадь которого в 2 раза меньше площади исходного четырёхугольника[/*][*][math]S=\frac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha[/math][br][/*][/list]Трапеция:[br][list][*][math]S=\frac{a+b}{2}h[/math], [math]\frac{a+b}{2}[/math] - длина средней линии[/*][/list]Ромб:[list][*][math]S=\frac{d_1d_2}{2}[/math], [math]S=ah[/math][br][/*][*][math]r=\frac{h}{2}[/math] - радиус вписанной окружности[/*][/list]Прямоугольник:[br][list][*][math]S=ab[/math][br][/*][*][math]d^2=a^2+b^2[/math][br][/*][/list]Квадрат:[br][list][*][math]S=a^2[/math], [math]S=\frac{d^2}{2}[/math][br][/*][*][math]d=a\sqrt{2}[/math][br][/*][*][math]r=\frac{a}{2}[/math][br][/*][*][math]R=\frac{d}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}[/math][br][/*][/list]
Окружность
[list][*]Длина окружности: [math]l=2\pi R[/math][br][/*][*]Площадь круга: [math]S=\pi R^2[/math][br][/*][*]Центральный угол в 2 раза больше вписанного[/*][*]Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, которую он заключает внутри себя[/*][/list]
Решение треугольника
[list][*]Теорема синусов: [math]\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R[/math][br][/*][*]Теорема косинусов: [math]c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma[/math][/*][/list]
Многоугольники
[list][*]Сумма углов выпуклого многоугольника: [math]180^{\circ}\left(n-2\right)[/math][br][/*][*]Угол правильного многоугольника: [math]\frac{180^{\circ}\left(n-2\right)}{n}[/math][/*][/list]
Векторы
[list][*][math]\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}[/math]: [math]x_c=x_a+x_b[/math], [math]y_c=y_a+y_b[/math][br][/*][*][math]\vec{a}-\vec{b}=\vec{c}[/math]: [math]x_c=x_a-x_b[/math], [math]y_c=y_a-y_b[/math][br][/*][*][math]k\vec{a}=\vec{c}[/math]: [math]x_c=kx_a[/math], [math]y_c=ky_a[/math][br][/*][*][math]\vec{a}\cdot\vec{b}=x_a\cdot x_b+y_a\cdot y_b[/math][br][/*][*][math]\left|\vec{a}\right|=\sqrt{x_a^2+y_a^2}[/math][/*][*][math]\vec{a}\cdot\vec{b}=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cos\varphi[/math][br][/*][*][math]\cos\varphi=\frac{x_a\cdot x_b+y_a\cdot y_b}{\sqrt{x_a^2+y_a^2}\sqrt{x_b^2+y_b^2}}[/math][br][/*][/list]