Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos en los que la diferencia entre sus distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante.[br]

[br]El producto punto o producto escalar de dos vectores es una operación que da como resultado un número real. Hay distintas formas de definir esta operación, una de ellas es por medio de multiplicar el producto de los módulos de los vectores por el coseno del ángulo que forman, esto es[br] [br][img width=161,height=22]https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5e7d93ccf0539d9438a7fc017a53d8bf_l3.png[/img][br] [br]Sin embargo, la forma más común de definir el producto punto no es esa, sino por medio de la suma de los productos de sus respecticas coordenadas, es decir, si [img width=177,height=22]https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-efab06451fdf8af9a1508a62b49168b6_l3.png[/img] y [img width=170,height=22]https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5859bb289501bdca71285cd3e9963607_l3.png[/img], entonces podemos definir el producto punto como[br] [br][img width=389,height=58]https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-87b033d5fbefa05c4196faba25534737_l3.png[/img]

[br]Hallar el producto punto de dos vectores cuyas coordenadas son las siguientes:[br] [br][br][img]https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-61c6cfd860eca19297d45972c15bf862_l3.png[/img][br][br][br][img]https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c487a42450f2297e03fc4e54073cf169_l3.png[/img]

Curvas en el espacio[br]Las curvas en el espacio son objetos geométricos unidimensionales, pueden describirse con un[br]solo parámetro (como trayectorias en las que la posición depende del tiempo), o por medio de 2[br]ecuaciones (que dan las relaciones que hay entre las 3 coordenadas de sus puntos). A veces las[br]curvas parametrizadas pueden pueden visualizarse mas fácilmente descomponiéndolas como[br]sumas vectoriales de trayectorias mas simples, como una trayectoria horizontal (su sombra en el[br]plano xy) y una vertical (su altura).[br]

Curvas Paramétricas[url=https://wiki.geogebra.org/es/Archivo:CardioidTangent.png][img width=100,height=104]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/0/02/CardioidTangent.png/100px-CardioidTangent.png[/img][/url]De formulación [i]a(t) = (f(t), g(t))[/i] siendo [i]t[/i] el parámetro real dentro de cierto rango, pueden crearse usando el comando [url=https://wiki.geogebra.org/es/Comando_Curva]Curva[/url].Estas curvas [i]pueden...[/i][list][*]vincularse a comandos como [url=https://wiki.geogebra.org/es/Comando_Tangente]Tangente[/url] o [url=https://wiki.geogebra.org/es/Comando_Punto]Punto[/url] y, desde [b]GeoGebra 4.2[/b], a [url=https://wiki.geogebra.org/es/Comando_Interseca]Interseca[/url] [b]Nota:[/b] También pueden emplearse ciertos [url=https://wiki.geogebra.org/es/Comandos_de_Funciones_y_C%C3%A1lculo]comandos de funciones y de cálculo[/url], como, entre otros: [url=https://wiki.geogebra.org/es/Comando_Derivada]Derivada[/url], [url=https://wiki.geogebra.org/es/Comando_Longitud]Longitud[/url], [url=https://wiki.geogebra.org/es/Comando_Curvatura]Curvatura[/url], [url=https://wiki.geogebra.org/es/Comando_VectorCurvatura]Vector Curvatura[/url] y [url=https://wiki.geogebra.org/es/Comando_C%C3%ADrculoOsculador]Círculo Osculador[/url].[/*][*]complementarse con empleo de herramientas como [url=https://wiki.geogebra.org/es/Herramienta_de_Punto][img width=20,height=20]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/a/a9/Mode_point.svg/20px-Mode_point.svg.png[/img][/url] [url=https://wiki.geogebra.org/es/Herramienta_de_Punto]Punto[/url] o la que traza [url=https://wiki.geogebra.org/es/Herramienta_de_Tangentes][img width=20,height=20]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/e/e1/Mode_tangent.svg/20px-Mode_tangent.svg.png[/img][/url] [url=https://wiki.geogebra.org/es/Herramienta_de_Tangentes][i]tangentes[/i][/url] por un punto de la curva, entre otras[/*][*]asociarse a [url=https://wiki.geogebra.org/es/Operadores_y_Funciones_Predefinidas]expresiones aritméticas o funciones predefinidas[/url].[br]Por ejemplo, [code]c(3)[/code] brinda el punto de posición paramétrica 3 en la curva [i]c[/i].[/*][*][i]definirse[/i] a partir de valores variables como los de los deslizadores. Como, por ejemplo, al tratar con:[br][b][code][url=https://wiki.geogebra.org/es/Comando_Curva]Curva[/url][ <Expresión>, <Expresión>, <Parámetro>, <Valor [sub]inicial[/sub]>, <Valor [sub]final[/sub]> ][br][/code][/b][br]... tanto el [i]valor inicial[/i] como el [i]final[/i] pueden estar determinados por deslizadores o por variables dinámicas como la abscisa de un punto deslizable (como x(A), por ejemplo).[/*][/list][b]Notas:[/b] El boceto al pie ilustra [i]animadamente[/i] el modo en que se emplea un [url=https://wiki.geogebra.org/es/Herramienta_de_Deslizador][img width=40,height=40]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/e/e4/Mode_slider.svg/40px-Mode_slider.svg.png[/img][/url] [url=https://wiki.geogebra.org/es/Herramienta_de_Deslizador]deslizador[/url] para determinar la [url=https://wiki.geogebra.org/es/Comando_Curva]curva[/url] desplegada según se aprecia.[br]

En [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica]matemáticas[/url], la [b]derivada parcial[/b] de una [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica]función[/url] de varias variables es la [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada]derivada[/url] con respecto a cada una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son usadas en [url=https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_vectorial]cálculo vectorial[/url] y [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial]geometría diferencial[/url]. La derivada parcial de una función f(x,y,…)[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76d0223679fa6d5d1f14842ff102708873ec6ed0[/img] con respecto a la variable [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4[/img] se puede denotar de distintas maneras:[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7349ff4d45d25b0f7596785060a287589f07e4dd[/img]Donde ∂[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62b4e7c1cedb9564609aefd2aa2309972f455c24[/img] es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'. También se puede representar como [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9604a8ff646d98e34be573850c9a9b088b65411d[/img] que es la primera derivada respecto a la variable 1[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8788bf85d532fa88d1fb25eff6ae382a601c308[/img] y así sucesivamente.[sup][url=https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial#cite_note-1]1[/url][/sup]​ Uno de los primeros usos conocidos de este símbolo en matemáticas es por el [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Marqu%C3%A9s_de_Condorcet]Marqués de Condorcet[/url] de 1770, quien lo usó para [url=https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ecuaci%C3%B3n_de_diferencias_parciales&action=edit&redlink=1]diferencias parciales[/url]. La notación moderna de derivadas parciales fue creada por [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre]Adrien-Marie Legendre[/url] (1786), aunque más tarde la abandonó; [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Gustav_Jacob_Jacobi]Carl Gustav Jacob Jacobi[/url] reintrodujo el símbolo en 1841.[sup][url=https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial#cite_note-jeff_earliest-2]2[/url][/sup]​Cuando una magnitud [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3[/img] es función de diversas [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Variable_(matem%C3%A1tica)]variables[/url] ),...[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb811b19531a21464b054a52e6fed4e64d8425b[/img]), es decir:[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92aeb91a0da6783eb9ed2a65342f71cce4d8c750[/img]Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite calcular la pendiente de la recta tangente a dicha función [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3[/img] en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada con el eje que representa los valores de la función .Analíticamente el [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Gradiente]gradiente[/url] de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función .Suponga que [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61[/img] es una función de más de una variable, esto es, suponga que [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61[/img] está dada por)=2[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4e5588f8dbc9b41c07d4457e33dd7a84b8e8b26[/img]La [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3n]gráfica[/url] de esta función define una [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_(matem%C3%A1tica)]superficie[/url] en el [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeo]espacio euclidiano[/url]. Para cada punto en esta superficie, hay un número infinito de líneas tangentes. La gráfica de 2[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99de3d3768474d27b24265349943dc3fc13c8eac[/img].La derivación parcial es el acto de elegir una de esas líneas y encontrar su pendiente. Generalmente, las líneas que más interesan son aquellas que son paralelas al plano [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97005bee6e83614cf6ce64d4e68e5ab2ac280709[/img] y aquellas que son paralelas al plano [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9c7cbe4344a9d72acfc98a97e2b3ec44bb48d1f[/img].[url=https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:X2%2Bx%2B1.png][img width=300,height=225]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/04/X2%2Bx%2B1.png/300px-X2%2Bx%2B1.png[/img][/url]Parte de la gráfica en el plano [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97005bee6e83614cf6ce64d4e68e5ab2ac280709[/img], en =1[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f53b404b1fdd041a589f1f2425e45a2edba110[/img]. La pendiente de la recta tangente es 3[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f[/img].Para encontrar la pendiente de la línea tangente de la función en (1,1)[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c7c2b3b683e3361fd44535c424eeb942aabfc3c[/img] que es paralela al plano , consideramos a la variable [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d[/img] como constante. La gráfica de la función y este plano se muestran a la derecha. A la izquierda, vemos cómo se ve la función en el plano =1[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f53b404b1fdd041a589f1f2425e45a2edba110[/img]. Encontremos la pendiente de [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61[/img] en el punto [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386[/img] derivando la función [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61[/img] considerando a [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d[/img] como constante:∂∂=2Por lo que en el punto (1,1)[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2a42feb07f4139bf871ae6856b11d4567bea23[/img] (reemplazando en la derivada) la pendiente es 3[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f[/img]. Esto es, la derivada parcial de f con respecto a  en el punto (1,1)[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2a42feb07f4139bf871ae6856b11d4567bea23[/img] es 3[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f[/img],

[br][br][br]

Integrales iteradasLas integrales dobles son una forma de integrarse en una región bidimensional. Entre otras cosas, nos permiten calcular el volumen bajo una superficie. Esta integral se conoce como una integral doble.Integrales iteradasUna integral iterada es una integral evaluada varias veces sobre la misma variable (en contraste con una integral múltiple, que consiste en un número de integrales evaluadas con respecto a diferentes variables).Es importante tener en cuenta en qué posición se dan los límites de las integrales en cuestión para saber en qué orden se ejecutarán los procesos de integración simple; es decir, reconocer si se va a integrar primero considerando el diferencial dx o el diferencial dy o viceversa.Área de una región en el plano del eje “x”Si la región R está definida por [img width=69,height=14]https://s0.wp.com/latex.php?latex=a+%5Cle+x+%5Cle+b&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img] y [img width=123,height=17]https://s0.wp.com/latex.php?latex=g_1+%28x%29+%5Cle+y+%5Cle+g_2+%28x%29&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img], donde [img width=34,height=17]https://s0.wp.com/latex.php?latex=g_1+%28x%29&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img] y [img width=34,height=17]https://s0.wp.com/latex.php?latex=g_2+%28x%29&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img] son funciones continuas en el eje x del intervalo [a, b]. La región R esta dada por[img width=140,height=45]https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+A+%3D+%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%7B%5Cint_%7Bg_1+%28x%29%7D%5E%7Bg_2+%28x%29%7D%7Bdy%7D+dx%7D&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img][br][img width=736,height=397]https://temasdecalculo2.files.wordpress.com/2018/01/imagen1.jpg?w=736[/img][br]Área de una región en el plano del eje “y”Si la región R está definida por [img width=69,height=16]https://s0.wp.com/latex.php?latex=c+%5Cle+y+%5Cle+d&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img] y [img width=127,height=17]https://s0.wp.com/latex.php?latex=h_1%28x%29+%5Cle+x+%5Cle+h_2%28y%29&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img], donde [img width=36,height=18]https://s0.wp.com/latex.php?latex=h_1+%28y%29&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img] y [img width=36,height=17]https://s0.wp.com/latex.php?latex=h_2+%28y%29&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img] son funciones continuas en el eje x del intervalo [c, d]. La región R esta dada por[img width=142,height=45]https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+A+%3D+%5Cint_%7Bc%7D%5E%7Bd%7D%7B%5Cint_%7Bh_1+%28y%29%7D%5E%7Bh_2+%28y%29%7D%7Bdx%7D+dy%7D&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img][img width=315,height=549]https://temasdecalculo2.files.wordpress.com/2018/01/imagen2.jpg?w=315&h=549[/img][br]Calcular el área de la siguiente gráfica utilizando integrales iteradas dobles.[img width=413,height=386]https://temasdecalculo2.files.wordpress.com/2018/01/imagen3.jpg?w=413&h=386[/img][br]SoluciónSe tomará el área bajo el eje “y”, por lo que la fórmula a utilizar es:[img width=108,height=45]https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5Cint_%7Bc%7D%5E%7Bd%7D%7B%5Cint_%7Bh_1+%28y%29%7D%5E%7Bh_2+%28y%29%7D%7Bdx%7Ddy%7D&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img]Las funciones en el eje y son: [img width=67,height=17]https://s0.wp.com/latex.php?latex=h_1+%28y%29%3D0&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img] y [img width=67,height=18]https://s0.wp.com/latex.php?latex=h_2+%28y%29%3D8&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img].Y los límites inferior y superior respecto a ese eje son: [img width=37,height=11]https://s0.wp.com/latex.php?latex=c%3D0&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img] y [img width=38,height=12]https://s0.wp.com/latex.php?latex=d%3D3&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img]Sustituyendo todos estos datos en la fórmula[img width=216,height=45]https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5Cint_%7Bc%7D%5E%7Bd%7D%7B%5Cint_%7Bh_1+%28y%29%7D%5E%7Bh_2+%28y%29%7D%7Bdx%7D+dy%7D+%3D+%5Cint_%7B0%7D%5E%7B3%7D%7B%5Cint_%7B0%7D%5E%7B8%7D%7Bdx%7D+dy%7D&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img]Resolviendo la integral del centro[img width=179,height=41]https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5Cint_%7B0%7D%5E%7B8%7D%7Bdx%7D+%3D+%5Cleft%5Bx+%5Cright%5D_%7B0%7D%5E%7B8%7D+%3D+8+-+0+%3D+8&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img]Continuando[img width=234,height=41]https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5Cint_%7B0%7D%5E%7B3%7D%7B%5Cint_%7B0%7D%5E%7B8%7D%7Bdx%7D+dy%7D+%3D+%5Cint_%7B0%7D%5E%7B3%7D%7B8+dy%7D+%3D+8%5Cint_%7B0%7D%5E%7B3%7D%7Bdy%7D&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img][img width=220,height=21]https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%3D+8+%5Cleft%5B+y+%5Cright%5D_%7B0%7D%5E%7B3%7D+%3D+8%283+-+0%29+%3D+8%283%29+%3D+24&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img]Por lo tanto, la figura tiene un área de[img width=65,height=14]https://s0.wp.com/latex.php?latex=A+%3D+24+u%5E2&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img]

Un campo vectorial, es una función que asocia a cada punto del plano o del espacio un vector. Un ejemplo de campo vectorial sería la velocidad del viento en cada punto de la tierra. Dicha velocidad se expresa no solo con su valor, sino con la dirección en la que sopla el viento.[br][br]Pensemos acerca de qué es un campo vectorial de manera matemática. Cada punto en un espacio de dos dimensiones está asociado con un vector de dos dimensiones. Podemos pensar esto como una función (multivariable) vectorial, cuyo valor de entrada es un punto (x,y) en un espacio de dos dimensiones, y cuyo valor de salida es un vector en dos dimensiones . Por ejemplo, la función que usé para generar el movimiento del fluido y el campo vectorial de arriba es f(x,y)​=[sin(x)+sin(y)sin(x)−sin(y)​]=(sin(x)+sin(y))i^+(sin(x)−sin(y))j^​​Como tanto los valores de entrada como los de salida de esta función tienen dos coordenadas, tratar de graficarla requeriría de cuatro dimensiones. ¡Pero con un simple dibujo de dos dimensiones la representamos casi completamente! Más aún, esta imagen da una mejor idea intuitiva de lo que debería representar un fluido arremolinándose que lo que cualquier gráfica podría. Ejemplo 1: la función identidad Considera esta función: f(x,y) = [xy​] ​Esto asocia un punto dado en un espacio de dos dimensiones, como (3,4)(3,4), con un vector que tiene esas mismas coordenadas. Por ejemplo, así se vería el [br][br][br][br][br][br]vector asignado a (3,4)(3,4)[img]https://cdn.kastatic.org/ka-perseus-graphie/3d8184ab7eeb3a8f9f9e6fe39d42196f014fdc10.svg[/img][br][br][br]Cuando haces esto para muchos puntos en el plano, y escalas todos los vectores para que no se vuelva demasiado desordenado, obtienes una imagen como esta:[br][br][br][img]https://cdn.kastatic.org/ka-perseus-images/a4ab276cf6896f5839019f5ddd65da67abd6eff3.png[/img][br][br][br]Ejemplo 2: ninguna componente horizontal [br]Ahora considera la función f(x,y) = [0 y sin(x)​ ]​La componente xx del valor de salida siempre es 000, entonces los vectores en nuestro campo vectorial solo deberían apuntar hacia arriba o hacia abajo. La segunda coordenada del valor de salida nos dice qué tan alto debería ser cada vector. Como esto tiene un factor yy, las flechas deberían hacerse más largas conforme nos alejamos del eje xx, y más cortas conforme nos acercamos a este (¿por qué?). También hay un factor sin(x) así que conforme vayamos de izquierda a derecha, la altura de los vectores oscilará hacia arriba y hacia abajo.[br][br][br][img]https://cdn.kastatic.org/ka-perseus-images/7d2627322850aa7797046616e1fa54d3ab5c43df.png[/img]